Раздел n 3. Механика упругих тел

Все реальные тела под воздействием сил в той или иной степени меняют свою форму, деформируются.

Абсолютно упругое тело является самой простой моделью, в рамках которой учитывается возможность деформации (изменения формы) реальных тел.

Рис.1

Все разнообразие деформаций сводится к двум основным типам, которые можно назвать элементарными. Этими элементарными деформациями являются растяжение (и сжатие) и сдвиг. Наглядно представить эти деформации помогает рисунок 1. Здесь показано сечение параллелепипеда, жестко закрепленного на массивном жестком столе. Пусть внешняя сила равномерно распределена по верхней грани параллелепипеда. При этом, очевидно, такая же по величине, но обратная по направлению сила действует на параллелепипед со стороны стола. Существует два независимых направления силы по отношению к грани, к которой эта сила приложена: нормальное (на рисунке слева) и тангенциальное (на рисунке справа).

В первом случае действие силы приводит к сжатию образца, если сила направлена внутрь тела, и к растяжению в противном случае. Количественной характеристикой растяжения (сжатия) является относительное удлинение

. (1)

где l  длина параллелепипеда до приложения нагрузки, l'  во время действия внешней силы. При растяжении 0, при сжатии 0. Величину l называют удлинением образца.

Во втором случае (см. рисунок 1 справа) действие силы приводит к смещению слоев тела параллельно друг другу вдоль направления действия силы. Сдвиг характеризуется тангенсом угла . При малых деформациях этот сдвиг мал и можно полагать tg  

Рис.2.

Исследование деформаций тел сводится к установлению зависимости  и  от приложенной нагрузки. В качестве меры последней выбирается величина f отношения приложенной внешней силы F к площади грани S, на которую эта сила непосредственно действует: f =F/S. Характерные результаты экспериментов по растяжению-сжатию образцов представлены на рисунке 2. Участок кривой АB соответствует так называемым упругим деформациям. Особенность их в том, что при снятии нагрузки меньшей f_A (при растяжении) или f_B (при сжатии) деформации исчезают. Если внешняя сила превысит предел упругости f_A (f_B) деформации станут неупругими. Т.е. при снятии нагрузки всегда будет иметь место некоторая остаточная деформация. Легко сообразить, что в области неупругих деформаций, нет однозначной зависимости между величиной приложенной нагрузки и величиной деформации. Такую ситуацию весьма затруднительно описать теоретически.

Для упруго деформированного тела согласно закону Гука имеет место однозначная зависимость между приложенной нагрузкой и возникающей деформацией, которая в случае малых деформаций линейна:

f_n  E f_  G^  

где E - модуль Юнга (модуль растяжения), G - модуль сдвига.

Модель абсолютно упругого тела предполагает, что подобная линейная зависимость имеет место при любой деформации.

Целью предлагаемых здесь упражнений является ознакомление с некоторыми экспериментальными методами определения упругих характеристик материалов  модуля Юнга и модуля сдвига.

На практике для характеристики упругих свойств материалов наряду с модулем Юнга вместо модуля сдвига используют коэффициент Пуассона. Введение последнего основано на том факте, что любое сжатие или растяжение сопровождается изменением поперечных приложенной силе размеров образца (см. рис. 3). По определению коэффициент Пуассона

. (3)

Рис. 3

Знак минус в этом определении обусловлен тем обстоятельством, что сжатие (0) всегда сопровождается увеличением поперечных размеров тела (a0), а растяжение (0)  уменьшением (a0). Таким образом, коэффициент Пуассона положительная безразмерная величина.

Так как энергия упругих деформаций положительная величина, можно показать, что

1/2, (4)

и имеет место связь

. (5)

Таким образом,

. (6)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАЗДЕЛУ

1. Какие деформации являются элементарными? Как можно классифицировать деформации сгиба и кручения?

2. Ознакомьтесь с понятиями: упругие, неупругие, пластические, остаточные деформации, предел упругости, область текучести, предел прочности.

3. Что такое упругий гистерезис?

4. В чем состоит упрощение реальной ситуации, предлагаемое моделью абсолютно упругого тела?

5. Сформулируйте закон Гука.

6. Дайте определения модуля Юнга, коэффициента Пуассона, модуля сдвига.

7. Почему в качестве величин, характеризующих упругие свойства материалов выбирают пару: модуль Юнга  коэффициент Пуассона, а не пару: модуль Юнга  модуль сдвига?

8. *Получите соотношения (4) и (5).

9. *Рассчитайте работу, которую необходимо затратить на однородное растяжение (сжатие) стержня длиной l и площадью поперечного сечения S на величину l для двух случаев: 1. внешняя сила в каждый момент времени чуть-чуть превосходит силу упругости; 2. внешняя сила все время равна силе упругости деформированного на l стержня. Объясните разницу.

10. *Модуль Юнга можно определить (см. формулы (1) и (2)) как силу, приходящуюся на единицу площади сечения образца, перпендикулярного силе, которая вызывает удлинение образца вдвое. Какие дополнительные оговорки требуется внести в это определение с учетом ответа на предыдущий вопрос?