(5)Метод малых отклонений.

При исследовании нелинейной системы уравнений решение можно получить лишь в чистом виде, поэтому для получения аналитического решения нелинейных диф.уравнений используют линеализацию. Линеализация – замена нелинейных уравнений приближенными линейными уравнениями (метод малых отклонений). Рассмотрим некоторый элемент . Пусть между входной и выходной величиной осуществляются процессы, которые описываются нелинейным дифференциальным уравнением вида . Обозначим установившееся состояние объекта через х₀, у₀ и отклонение от данного состояния х’ и у’. тогда входная величина будет представлена: х=х₀+х’; y+y₀+y’. В общем случае входная и выходная величины могут являться функциями времени, тогда выходная величина будет представлена: . В окрестностях точки х₀, у₀ функцию F(x,y,t) разложим в ряд Тейлора: , где R – совокупность членов ряда, порядок производной которой выше первой. В случае, если отклонение от установившегося, значения малы можно получить (*), где . В том случае, если отклонение от установившегося состояния равны 0, уравнение будет выглядеть (**). Вычитая (**) из (*) получаем линейное диф.уравнение , которое называется уравнением в отклонениях. Это уравнение описывает состояние объекта управления при малых отклонениях.

(6)Метод решений диф.Уравнений.

1)аналитический, получают решение в явном виде. На основе данного решения можно исследовать реакцию объекта на любые входные воздействия; 2)численный, решением уравнения является числовое решение при заданных начальных условиях; 3)качественный, используется в основном в теории управления и не имея решения в явном виде получают различные качественные оценки?????(время переходного процесса, полоса пропускания). Этапы решения диф.уравнений: 1)по исходному диф.уравнению составляют характеристическое уравнение системы; 2)находят корни характеристического уравнения; 3)записывают общие решения диф.уравнений и используя начальные условия определяют коэффициенты выходной величины; 4)к общему решению диф.уравнения прибавляют частное решение. Однако нахождение корней характеристического уравнения, порядок которого выше третьей степени аналитически не возможно, поэтому для нахождения корней используют численные методы, что усложняет исследование системы в целом.

(7)Способы записи передаточных функций.

Для исследования систем высокого порядка используют операторный метод, который основан на преобразованиях Лапласа и который называется методом передаточных функций системы. Передаточной функцией системы или элемента называется отношение выходной величины системы к входной . Существует 4 способа определения передаточных функций:1)операторный; 2)стандартная форма; 3)форма передаточной функции в изображениях по Лапласу; 4)частотная форма передаточной функции.

(8)Свойства преобразования Лапласа.

1)теорема подобия ,

2)

3)af(t)=aF(p)

4)если оригинал функции смещается вдоль оси на некоторую величину τ, то изображение от данной функции j(t-τ)e^-τpF(p)

5)если оригинал функции умножается на величину ep^0t, то изображение

6)теорема свертки

7)

8)

9)

10)

(9)Виды входных воздействий.

Различают детерминированное и случайные входные воздействия. Детерминированные воздействия делятся на ступенчатое, импульсное, гармоническое. Функция, зависящая от времени и описывающая реакцию системы или элемента на некоторое входное воздействие называется откликом элемента или системы. Функция которая описывает реакцию системы на единичном входе, воздействие называется переходной функцией или элемента (h(t)). Нахождение h(t): 1)непосредственно из дифференциального уравнения ; x(t)→1(t); y(t)→h(t). ; ; ; . 2)импульсное воздействие представляет собой Функция, описывающая реакции системы на импульсное воздействие называется весовой функцией элемента или системы (ω(t)). Методы нахождения ω(t): 1)непосредственно из диф.урав. y(t)→ω(t); x(t)→σ(t). 2)используя преобразования Лапласа: , , ω(p)=W(p), ω(t)=L^-1(W(p)). Гармоническое воздействие: частотные характеристики системы или элемента, полученные при подаче на вход гармонического воздействия описывают установившееся вынужденные колебания, вызванные подачей на вход воздействия вида: x=x_msin(ωt), x_m-амплитуда сигнала. Выходная величина: y(t)=y_{переходная}(t)+у_{установшееся}(t), y(t)=Y_msin(ωt+φ). В показательной форме входных и выходных переменные: x=x_me^jωt; y=Y_me^jωt(φ-φ0).

	L(t)	ω(t)	W(jω)	W(p)
H(t)	-----
ω(t)	h’(t)	------	F-1(W(jω))	F-1(W(p))
W(jω)	jωF(f0(t))	F(ω(t2))	------	W(p)|p=jω
W(p)	pL(f1(t))	L(ω(t))	W(jω)|p=jω	-------

Прямое преобразование Лапласа: . Обратное преобразование Лапласа: .