§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.

Дана замкнутая система двух материальных точек (тел). Для замкнутой системы функция Лагранжа явно не зависит от времени, значит, потенциальная энергия является функцией только координат. Потенциальная энергия – энергия взаимодействия между телами.

,

Данная система обладает следующими свойствами:

1. Пространство однородно и изотропно. Это значит, что систему можно транслировать.

Вследствие однородности пространства:

.

Мы можем вращать вектор как хотим, решение от этого не измениться (следствие изотропности). Введём новые координаты:

- описывает положение центра масс (система как целое).

- описывает относительное положение точек.

где .

Таким образом .

,

,

Имеем:

,

- приведённая масса.

- общая масса.

В итоге:

Была функция Лагранжа, а стала . И в первом и во втором случае имеем 6 степеней свободы, т.е. мы ничего не потеряли.

Здесь - циклическая координата. Тогда

, тогда:

- интеграл движения

- закон сохранения импульса

;

Итак, задача двух тел свелась к решению двух задач:

1.Свободная материальная точка массой .

2.Материальная точка массы во внешнем центральном стационарном поле(относительное движение). зависит от модуля , значит поле центральное или сферически-симметричное.

§10. Особенности движения частицы в центральном поле.

- закон взаимодействия.

здесь , ,

- но это равенство имеет место, лишь, если начало координат выбрано в центре поля.

По функции можно показать, что - интеграл движения. Далее будем писать без индекса - .

Так как , то сохраняется модуль и направление вектора. Значит, движение осуществляется в плоскости, то есть имеет две степени свободы. Перейдем к полярным координатам:

- циклическая координата

тогда - закон сохранения для координаты .

-закон сохранения момента импульса.

Роль : - обобщённая координата, - обобщённый для неё импульс, т.е.

Мы свели задачу двух тел к одномерной задаче, т.к. здесь одна обобщённая координата. Далее:

-обобщённый импульс, соответствующий координате

здесь .

§11. Одномерный эффективный потенциал.

Рассмотрим график одномерного эффективного потенциала:

, ,

Финитное движение – движение, происходящее в ограниченной части пространства.

(1) – инфинитное движение (гипербола).

(2) – движение (инфининтное) идет по параболе E=0.

(3) – движение (финитное) идёт по эллиптической траектории, и - точки поворота.

(4) – движение по окружности.

(5) – падение на центр тяготения.

§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона.

Каждой обобщенной координате соответствует обобщенный импульс:

Рассмотрим функцию :

перейдем от к

Здесь - функция переменных и . - отсюда находим . Это и есть преобразование Лежандра.

Рассмотрим функцию Лагранжа . От и перейдем к и :

- обобщенный импульс

используя уравнение Лагранжа , получим:

Мы перешли к переменным , , . По определению:

- функция Гамильтона.

Выразим через и . Из получаем . Запишем :

Сравнивая два этих выражения, получаем:

Это уравнения движения Гамильтона, их так же называют каноническими. Их штук. В отличие от дифференциальных уравнений Лагранжа, которые были 2-го порядка, эти дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения уравнений надо задать начальных условий, или динамических переменных в какой-то момент времени: и . и - динамические переменные в методе Гамильтона.

Обратимся к равенству. Величины и называют канонически сопряжёнными величинами (по Гамильтону). Канонические преобразования в методе Гамильтона служат для перехода от одних динамических переменных к другим.

Функцию Гамильтона можно также получить ещё с помощью вариационного метода.