Задача 1

В цепь переменного тока напряжением U = 300 В, и частотой 50 Гц включена последовательно катушка с индуктивным сопротивлением Х_L =40 Ом и активным сопротивлением R= 30 Ом и конденсатор ёмкостью С = 400 мкФ. Определить ток, напряжение на катушке и конденсаторе, активную и реактивную мощности катушки и конденсатора и всей цепи. Определить, при какой частоте наступит резонанс в цепи, и каковы при этом будут ток, напряжение на катушке и конденсаторе, их реактивные мощности и активная мощность цепи. Построить векторные диаграммы для этих режимов работы

Решение

1. Реактивное сопротивление конденсатора

Ом.

2. Комплексное сопротивление катушки

Z_к = R + jX_L = z_ке ^jφ = 30 + j40= 50e ^j53 Ом,

где z_к — модуль комплексного сопротивления катушки, а  — аргумент, равный .

3. Комплексное сопротивление всей цепи

Z = R + jX_L – jX_С = 30 + j40 – j8 = 30 + j32 = 44e ^j47 Ом,

где модуль комплексного сопротивления цепи , а .

4. Ток цепи, определяемый по закону. Ома

=6,8e^-j47 А, φ=47⁰.

5. Напряжения на участках цепи

U_к=IZ_к=6.8e^-j4750e^j53=340e^j6 В, φ_к =6⁰;

U_C=IX_Ce^-j90=6.8e^-j478e^-j90=54.4e^-j137 B, φ_с=137⁰.

6. Мощности цепи:

реактивные: на катушке Q_L=I²X_L=6.8²40=1850 ВАр;

на конденсаторе Q_C=I²X_C=6.8²8=370 ВАp;

активная мощность выделяется только на активном сопротивлении катушки R

P=I²R=6,8²30=1387 Вт;

полная мощность цепи (кажущаяся)

или  В·А.

7. Из условия резонанса напряжений определяют его частоту.

Условие резонанса: X_L = X_C или

,

откуда частота резонанса

Гц,

где индуктивность , L= Гн.

8. Комплексное сопротивление цепи при резонансе — чисто активное, Z = R = 30 Oм.

Реактивные сопротивления равны

X_L = X_C = 2  f₀ L =

Ом.

9. Напряжения на участках цепи:

U_к= I  Z_к = В, φ^/ _к =31⁰,

где I = — общий ток цепи.

Реактивное ёмкостное напряжение

U_C = I X_Ce^-j90 = 10  17,85e^-j90 = 178,5e^-j90 B, φ^/ _с= - 90⁰ .

10. Мощности при резонансе:

ВАp — реактивные;

P=I²R=10²30=3000 Вт — активная;

полная мощность цепи — чисто активная S = P.

10. Векторные диаграммы цепи:

До резонанса		При резонансе
Масштаб тока	1см — 1 А	Масштаб тока	1 см — 2 А
Масштаб напряжений	1 см — 100 В	Масштаб напряжений	1см — 100 В

φ^/ _с

φ^/ _к

φ

φ_с

φ_к

Задача 2

В сеть переменного тока напряжением U = 250 В включена цепь, состоящая из двух параллельных ветвей с сопротивлениями R₁ = 25 Ом, R₂ = 10 Ом и X_L = 7 Ом.

Определить показания измерительных приборов, полную и реактивную мощности цепи, построить векторную диаграмму, треугольники токов и мощностей.

Решение

1. Комплексное сопротивление второй ветви

Z₂ = R₂ + jX_L = 10 + j7 = 12,2e ^j35 Ом.

2. Комплексное сопротивление всей цепи

Z = Ом.

3. Общий ток цепи

I = А, φ = - 24⁰.

Ток первичной ветви I₁ = А, φ₁ = 0⁰.

Ток вторичной ветви I₂ = А, φ₂ = - 35⁰ .

Амперметр в общей ветви покажет 28 А, в первой ветви показания равны 10 А, а во второй — 21 А.

4. Ваттметр покажет суммарную активную мощность цепи

P = P₁ + P₂,

где P₁ = I₁²R₁ = 10²25 = 2500 Вт,

P₂ = I₂²R₂ = 21²10 = 4410 Вт,

P = 6910 Вт — показания ваттметра.

Реактивная мощность определяется только величиной X_L и равна

Q_L = I₂²  X_L = 21²  7 = 3087 ваp.

Полная мощность цепи: В·А.

5. Векторная диаграмма цепи.

Для построения векторной диаграммы выбираем масштабы по току и напряжению. Масштаб тока: в 1 см — 5А, масштаб мощностей: в 1 см — … ВА.

6. Из треугольника токов I₁, I₂, I можно получить треугольник мощностей, если умножить векторы токов на общее напряжение U.

Задача 3

В трёхфазную четырехпроводную цепь с симметричным линейным напряжением U_Л = 220 В включены звездой сопротивлением R_A = 6 Ом, R_B = 7 Ом, R_C = 9 Ом, X_A = 7 Ом, X_B = 6 Ом, X_C = 11 Ом.

Определить фазные и линейные токи, ток нейтрального провода, мощности всей цепи и каждой фазы в отдельности.

Построить векторную диаграмму цепи. Задачу решить комплексным методом.

Решение

1. Комплексные сопротивления фаз:

Z_A=R_A-jX_A=6–j7=9e^–j49 Ом;

Z_B=R_B+jX_B=7+j6=9e ^j41 Ом;

Z_C=R_C+jX_C=9+j11=14e ^j51 Ом.

2. Фазные напряжения:

U_Ф= В,

U_A=127 B; U_B=127e^–j120 B; U_C=127e ^j120 B.

3. Фазные токи ( в “звезде” они же линейные).

I_A= А,

I_B= А,

I_C = А.

4. Ток нейтрального провода находят графически из векторной диаграммы с учетом, что I_N = I_A + I_B + I_C.

Масштаб токов: в 1 см — 5 А.

Масштаб напряжений: в 1 см — 25 В.

U_АВ

U_ВС

U_СА

U_Л = U_АВ = U_ВС = U_СА = 220В

Ток I_N в масштабе имеет длину 23 мм=2,3 см. I_N=2,35=11,5 A.

5. Мощности фаз и всей цепи:

P_A=I²_AR_A=14²6=1176 Вт,

P_B=I²_BR_B=14²7=1372 Вт,

P_C=I²_CR_C=9²9=729 Вт,

Q_A1=I²_AX_A=14²7=1372 ВАp,

Q_Bl=I²_BX_B=14²6=1176 ВАp,

Q_Cl=I²_CX_C=9²11=891 ВАp.

Активная мощность всей цепи P=P_A+P_B+P_C=3277 Вт.

Реактивная мощность Q = –Q_A+Q_B+Q_C=695ВАр.

Полная мощность цепи S

S= В·А.

Кажущаяся мощность фаз

S_A1= В·А — активно-емкостного характера;

S_Bl= В·А — активно-индуктивного характера;

S_Cl= В·А — активно-индуктивного характера.