МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОУ МИАССКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАССМОТРЕНО на заседании цикловой комиссии спец. “Естественно-научных дисц.” Протокол N____ от ________2003г. Председатель цикловой комиссии ___________/С.В.Скоробогатова/

УТВЕРЖДАЮ Зам.директора по УПР _______/И.В.Карпов/ “____”________2003г.

Практическое занятие n 9

(для технических специальностей)

Практическое занятие n 6

(для экономических специальностей)

по дисциплине МАТЕМАТИКА

"Производная сложной функции"

Курс II Специальности (все)

Разработал:________/Н.И.Буяндуков/

2003 г.

Тема "Производная сложной функции"

Цели: 1.Формирование навыков нахождения производной сложной функции.

2.Прививать алгоритмическую культуру вычисления производных.

Оборудование: Карточки-задания,микрокалькулятор,линейка,карандаш.

Порядок выполнения практической работы.

1. Ознакомиться с кратким теоретическим содержанием для выполнения практической работы.

2. Выполнить предложенные задания.

3. Результаты,полученные при выполнении заданий,занести в таблицу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория

1 Основные правила дифференцирования.

Обозначения: C-постоянная, х-аргумент, u, v и w - функции от х, имеющие производные.

Производная алгебраической суммы функции

(1)

Производная произведения двух функций

(2)

Производная произведения постоянной на функцию.

(3)

Производная частного (дроби)

(4)

Частные случаи формулы:

(5)

(6)

Формулы дифференцирования

При условии g=h(x)		При условии g=x
	1		1а
	2		2а
	3		3а

	4		4а
	5		5а
	6		6а
	7		7а
	8		8а
	9		9а
	10		10а
	11		11а
	12		12а
	13		13а
	14		14а
	15		15а
	16		16а
	17		17а
	18		18а

2. Дифференцирование сложных функций.

Если - - есть функция от : , где в свою очередь есть функция от аргумента : т.е. если зависит от через промежуточный аргумент , то называется сложной функцией от (функцией от функции ): .

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

или (7)

Исходя из этого соотношения получены формулы дифференцирования сложных функций, для которых .

Формула ( 7 ) называется формулой дифференцирования сложной функции.

2.1. Производные степени и корня.

При вычислении производных необходимо помнить, что (по определению):

1). 2). 3).

и знать следующие правила действий со степенями и корнями:

4). 5). 6).

7). 8).

Здесь m и n - любые рациональные числа.

Пример1: Найти производную сложной функции: .

Решение: Полагая, , тогда получим .

По формуле производной сложной функции имеем

.

Пример 2: Найти производную сложной функции: .

Решение: Введем отрицательный показатель и применим формулу производной степенной функции

, тогда производная определяется следующим образом

Пример 3: Найти производную сложной функции: .

Решение: По формуле производной сложной функции получим

.

Найдем производные в каждом из слагаемых и выполним преобразования:

2.2. Дифференцирование логарифмических функций.

Пример 4: Вычислить производные следующих функций:

1) 2).

Решение:

1).

2).

2.3. Дифференцирование показательных функций.

Примеры: Вычислить производные следующих функций:

1) 2)

Решение:

1)

2)

2.4. Дифференцирование тригонометрических функций.

Примеры: Вычислить производные следующих функций:

1) 2)

Решение:

1) . Полагая, что , получим .По формуле (11) находим

2) . Полагая, что , получим .

Применяя последовательно формулы нахождения степенной и тригонометрической функции имеем:

Задания

Задание 1. Вычислить производные следующих функций:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 2. Вычислить производные следующих функций:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12

Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 3. Вычислить производные следующих функций:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 4. Вычислить производные следующих функций:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10

Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 5. Вычислить производные следующих функций:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 6. Вычислить производные следующих функций:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14

Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 7. Вычислить производные следующих функций:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Карта полученных результатов

№ задания	Результаты выполненных заданий (ответы)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7

Контрольные вопросы:

1. Какими символами обозначается производная?

2. Назвать формулу производной алгебраической суммы?

3. Назвать формулу производной произведения?

4. Назвать формулу производной частного?

5. Назвать формулу производной постоянного числа?

6. Назвать формулу производной линейной функции?

7. Назвать формулу производной степенной функции с рациональным показателем?

8. Как вычисляется производная логарифмической функции с натуральным основанием?

9. Как вычисляется производная логарифмической функции с десятичным основанием?

10. Как вычисляется производная логарифмической функции с произвольным основанием?

11. Как вычисляется производная сложной логарифмической функции с произвольным основанием?

16. Как вычисляется производная показательной функции с натуральным основанием?

17. Как вычисляется производная показательной функции с произвольным основанием?

18. Как вычисляется производная сложной показательной функции с произвольным основанием?

19. Как вычисляется производная функции у = sin x?

20. Как вычисляется производная функции у = cos x?

21. Как вычисляется производная функции у = tg x?

22. Как вычисляется производная функции у = ctg x?

12

2

11

3

10

4

9

5

8

6

7