Логические основы работы эвм.

Теоретической основой построения ЭВМ служат социально-тематические дисциплины, одной из которых является алгебра логики (булева алгебра)

Аппарат булевой алгебры широко используется для описания схем ЭВМ и цифровых устройств для их проектирования и структуризации. Информация в ЭВМ и цифровых устройствах так или иначе сводится к ее представлению в двоичной системе.

Каждая такая зависимость y_i является «булевой функцией» у которой число возможных состояний каждой из x₁,…,x_n=2 (стандарт ISO 2382/2-76). Булевой функцией называется логическая или переключательная функция. АЛ устанавливает основные законы формирования и преобразования логической функции. Булева алгебра (БА) позволяет представить любую сложную функцию в виде композиции (суперпозиции) простейших логических функций. БА оперирует в общем случае так называемыми логическими элементами которые могут принимать одно из двух возможных значений.

В БА определены три основные логические операции:

1) «НЕ» (логическое отрицание, инверсия).

2) «И» (логическое умножение, коньюнкция).

3) «ИЛИ» (логическое сложение, дезьюнкция).

переменные		НЕ		И	ИЛИ
X1	X2
0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	1	1

Всякая булева функция имеет свои пределы, обл определения, охватывающая совокупность комбинаций ее переменной. Каждое возможное совпадение аргументов – это набор. Так как всякая переключательная функция может принимать только два значения, то при n переменных 2ⁿ наборов, а число булевых функций N=2².

n=0 N=2

n=1 N=4

n=2 N=16

n=3 N=256

n=4 N=65536

Если неизвестно какие значения принимает булева функция на всех наборах аргумента, то она называется недоопределенной (частичной), а набор аргументов – запрещенные наборы. Значение функции на запрещенных наборах можно задать желаемым образом.

Из функции, представленной в приложении 2, (F_i(x₁,x₂), i=0…15) можно строить сколь угодно сложные зависимости, отражающие алгоритмы преобразования информации, представленной в системе (2).

Возможен ли набор таких простых булевых функций, на основе которых можно получить любую, сколь угодно сложную функцию?

Одним из основных понятий булевой алгебры является понятие функциональной полноты булевой функции (БФ)

Система БФ называется полно, если на ее основе можно получить любую функцию, используя лишь операции суперпозиции.

Алгебра логики дает несколько наборов БФ обладающие функциональной полнотой и образующих полный базис простейших функций, из которых могут строятся любые более сложные. Одним из них является набор 3-ёх БФ, носящих название «основного, функционального, полного набора»

А: {F₁=(x₁·x₂) – конъюнкция; F₇=(x₁+x₂) – дизъюнкция; F₁₂=- инверсия}

В общем случае, одна из этих функций является избыточной, т.е. ее исключение из набора не нарушает функциональной полноты:

B: {F₁;F₁₂}, C:{F₇;F₁₂} – функционально полные, т.к. на их основе можно получить любую исключенную из набора функцию.

Однако использование сокращенных базисных наборов требует от разработчика значительных навыков.