1.3 Сложение и вычитание синусоидальных величин

Преимущество изображения синусоидально изменяющихся величин векторами заключается в том, что при таком изображении сумма или разность нескольких величин может быть определена графически быстро и просто, в то время как при изображении величин синусоидами эти операции сложны и требуют много времени.

Допустим, необходимо сложить две ЭДС одной и той же частоты:

Мгновенное значение суммарной ЭДС равно алгебраической сумме мгновенных значений слагаемых величин: . Сложение двух синусоидальных величин можно выполнить графически путем сложения двух синусоид, изображающих эти величины (т.е. с помощью временных диаграмм). Для получения ординат суммарной кривой нужно для каждого момента времени сложить ординаты кривых, изображающих слагаемые величины. В результате получим синусоидальную кривую той же частоты. Из чертежа можно определить амплитуду и начальную фазу суммарной ЭДС. Чем больше слагаемых величин, тем труднее выполнить вышеописанную операцию.

Докажем, что вектор, изображающий эту синусоиду, равен геометрической сумме векторов, изображающих синусоиды слагаемых величин. Чтобы сложить две заданные ЭДС , представленные векторами и на рисунке 1.5, нужно вектор перенести параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора (или вектор перенести параллельно самому себе, чтобы его начало совпало с концом вектора ). Тогда замыкающий вектор отобразит суммарную ЭДС.

Рисунок 1.5 – Сложение двух векторов

Действительно, при t=0 проекция вектора на ось ординат представляет собой мгновенное значение е₁, проекция вектора на ту же ось – мгновенное значение е₂, а сумма этих проекций (е₁+е₂) равна проекции на вертикальную ось суммарного вектора (е). При вращении векторов их взаимное расположение не изменяется, и для проекций по-прежнему выполняется равенство .

Таким образом, результатом сложения синусоидальных величин одинаковой частоты является синусоидальная величина той же частоты, амплитуда которой равна геометрической сумме амплитуд слагаемых синусоид.

При большом числе векторов их сложение производится тем же методом, т.е. векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы каждый последующий вектор начинался в конце предыдущего. Замыкающий вектор (соединяющий начало первого вектора с концом последнего) изображает суммарную величину.

Вычитание двух синусоидальных величин заменяют сложением уменьшаемой величины с вычитаемой, взятой с обратным знаком, т.е.

Следует помнить, что изменение знака у синусоидальной величины соответствует изменению начального фазового угла на 180⁰:

(1.6)

Если синусоидальные величины изображены векторами, то изменение знака означает поворот вектора на 180⁰.

При сложении двух синусоидальных величин различной частоты получается несинусоидальная величина, которая не может изображаться вращающимся вектором. Векторная диаграмма применима только для синусоидальных величин, имеющих одну и ту же частоту.