Розділ 1.2. Фотометрія Основні формули

І. Світловий потік через певну поверхню:

,

де - енергія світла, що проходить через площу цієї поверхні за час .

Сила світла точкового джерела у будь-якому напрямі:

,

де - елементарний тілесний кут.

Повний світловий потік точкового джерела:

.

ІІ. Для протяжних джерел світла.

Яскравість :

,

де - елементарний потік світла; - елементарна площа поверхні джерела; - тілесний кут; - кут між нормаллю до поверхні та напрямком розповсюдження світла.

Світність поверхні :

,

де - повний потік, що випромінюється поверхнею у тілесний кут 4.

У випадку Ламбертовського випромінювання світність:

.

ІІІ. Освітленість поверхні:

,

де - світловий потік, що падає на поверхню; - поверхня, яка освітлюється.

Освітленість від точкового джерела:

,

де - кут між нормаллю до поверхні та напрямком на точкове джерело; - відстань від елементарної поверхні до точкового джерела.

1. Приклади розв’язання задач

Задача 1.2.1. На столі лежить книга на відстані від основи перпендикуляра, що проведений з електролампи до площини стола. Лампа може тільки підніматись і опускатись (її можна вважати точковим джерелом світла). На якій висоті над столом слід повісити лампу, щоб освітленість книги була максимальною?

Розв’язання задачі. Нехай сила світла, що випромінюється лампою , дорівнює (рис. 1.2.1).Обчислимо освітленість книги як функцію висоти лампи над столом.

Як видно з рис.1.2.1, при будь-якій довільній висоті відстань від книги до джерела світла дорівнює

,

а освітленість книги, згідно з формулою освітленості точкового джерела світла

.

Проте з рис.1.2.1

.

Тоді остаточно маємо:

.

Досліджуючи вираз для на екстремум, легко знайти, що при мінімальна висота дорівнює

.

Задача 1.2.2. Об’єктивом з малою світлосилою фотографують предмет зі зменшенням у два рази. Яка буде освітленість фотопластини (порівняно з першим випадком), якщо фотографувати предмет в тих самих умовах, але із збільшенням =1?

Р озв’язання задачі. Перший випадок зображено на рис. 1.2.2, другий – на рис. 1.2.3. Користуючись формулою тонкої лінзи, легко обчислити, що в першому випадку відстань від об’єктива до предмета , а від об’єктива до зображення (фотопластинки) , де - фокусна відстань об’єктива.

Справді,

.

Але збільшення:

.

Отже:

, тобто ,

або

.

Аналогічно можна показати, що в другому випадку

; .

Світлосила об’єктива невелика, тому площину лінзи, обчислюючи тілесний кут, можна вважати за площину відповідного шарового сегмента. Отже, в першому випадку тілесний кут, під яким з центра предмета видно об’єктив, дорівнює:

,

де - площина лінзи.

В другому випадку:

.

Нехай, - поверхнева яскравість предмета. Тоді в першому випадку предмет посилає на об’єктив світловий потік

,

де - площа предмета.

Відмітимо, що в задачі розглядаються лише параксіальні пучки, тому кожний видимий з будь-якої точки лінзи елемент площі предмета практично дорівнює відповідному справжньому елементу.

Якщо коефіцієнт втрат світла в об’єктиві дорівнює , то до зображення доходить світловий потік . Отже, освітленість зображення у першому випадку:

,

де - площа зображення.

Аналогічно в другому випадку:

.

Але:

; .

Тому:

,

тобто в другому випадку освітленість зображення зменшилась у 16/9 рази.

Задача 1.2.3. Крізь отвір у віконниці в кімнату попадає сонячний промінь, який освітлює аркуш білого паперу, що лежить на підлозі. Площа аркуша , його освітленість , коефіцієнт відбивання паперу . Яку освітленість має стеля кімнати над аркушем, якщо її висота над підлогою дорівнює ?

Розв’язання задачі. Світловий потік, що падає на аркуш паперу, дорівнює

,

а розсіюється частина цього потоку:

.

Отже, світність паперу:

.

Якщо вважати, що розсіювання світла папером відбувається рівномірно в усіх напрямках, то одиниця площі аркуша паперу випромінює за 1с в одиничний тілесний кут світлову енергію:

.

Цю одиницю площі можна вважати відносно стелі (зрозуміло, при ) елементарним точковим джерелом, сила світла якого якраз дорівнює

.

Отже, згідно з формулою освітленості точкового джерела світла:

,

одиниця площі аркуша паперу створює перпендикулярно до нього на стелі освітленість

,

а увесь аркуш паперу дає над собою освітленість в раз більшу, тобто:

.