23. Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение. Функция называется первообразной функцией для данной функции (или, короче, первообразной данной функции) на данном промежутке, если на этом промежутке .

Определение. Выражение , где – первообразная функции и C – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , причем называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, знак – знаком интеграла.

Теорема. Если функция непрерывна на сегменте , то на этом сегменте у функции существует первообразная.

Свойства неопределенного интеграла.

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекает следующие свойства:

1. и, значит, .

2. , что может быть переписано так: .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .

4. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

24. Определенный интеграл и его свойства.

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть требуется найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции , непрерывной и неотрицательной на сегменте , и отрезками прямых y = 0, x = a, x = b. Эта фигура называется криволинейной трапецией.

y

B

A

0 a b x

Разобьем отрезок точками на число n частичных отрезков и положим , k = 1, 2, …, n. Наибольшую из этих разностей через . На каждом частичном сегменте , k = 1, 2, …, n, выберем произвольную точку , . Произведение даст площадь прямоугольника, имеющего основание и высоту , а сумма - приближенную площадь S криволинейной трапеции aABb. Отсюда, площадь равна:

(1)

Определение. Если существует предел (1), не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек , то этот предел будем называть определенным интегралом функции на сегменте и обозначать символом

(2)

Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), сумма - интегральной суммой.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.

Свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

.

2. Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от этих функций.

.

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный

.

4. Интеграл по сегменту равен сумме интегралов по его частям

, где a < c < b.

25. Случайные события. Действия. Свойства.

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Предмет теории вероятности – это математические модели случайных явлений.

Случайное явление – это явление, предсказать исход которого невозможно.

Цель теории вероятности – это осуществление прогноза в области случайных явлений.

Случайным событием называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти. Случайные события обозначаются A, B, C, D, … .

Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются .

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается .

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате опыта.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет во время опыта.

Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же опыте, т.е. не они не могут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместимыми.

События называются попарно несовместимыми, если любые два из них несовместимы.

Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместимы и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Несколько событий называются равновозможными, если в результате опыта все события имеют равные шансы.

Действия над событиями.

Суммой двух событий A и B называется событие C = A + B, состоящее в наступлении одного из них.

Произведением событий A и B называется событие C = A · B, состоящее в совместном наступлении этих событий.

Разностью событий A и B называется событие C = A – B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B.

Противоположным событию A называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Событие A влечет событие B, если из того, что происходит событие A следует, что происходит событие B. .

Если A влечет B и B влечет A, то события A и B называются равными. A = B.

Свойства операций над событиями.

1. Переместительное. , .

2. Распределительное. , .

3. Сочетательное. .

4. ,

5. ,

6.  =1, = .

7. .

8. .

9. .

10. 

Законы де Моргана

1. .

2. .