
- •11. Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •12. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.
- •13. Метод Гаусса. Система линейных однородных уравнений.
- •14. Комплексные числа. Основные понятия. Геометрическое изображение. Формы записи комплексных чисел.
- •15. Действия над комплексными числами.
- •16. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой.
- •17. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •18. Расстояние от точки до прямой. Окружность и эллипс.
- •19. Гипербола и парабола. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •20. Множества. Основные понятия. Свойства.
17. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Угол между прямыми.
Пусть даны прямые
y
O x
Параллельность прямых.
Если
и
параллельны, то угол
,
.
Таким образом,
можно сделать вывод, если прямые
параллельны, то
и наоборот.
Таким образом, равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.
Перпендикулярность прямых.
Если прямые
перпендикулярны, то
.
При этом
,
.
Поэтому
Справедливо обратное утверждение.
Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
Рассмотрим прямые, заданные общим уравнением прямой.
,
.
Условие параллельности:
.
Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общим уравнением, является пропорциональность коэффициентов.
Условие
перпендикулярности:
.
.
Таким образом, условием перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных x и y.
18. Расстояние от точки до прямой. Окружность и эллипс.
Точка пересечения прямых.
(1)
(2)
Очевидно, что пересечение их должно удовлетворять уравнению каждой прямой. Найдем пересечение из системы уравнений (1) и (2).
Если прямые не
параллельны, т.е.
,
то решение дает единственную точку
пересечения прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Даны точка
и прямая
(3).
Под расстоянием
от точки
до прямой (1) понимается длина перпендикуляра
,
опущенного из точки
на прямую (3).
Для определения
расстояния от точки
до прямой (3) необходимо найти прямую,
перпендикулярную заданной и проходящую
через точку
.
Допустим, что перпендикуляр пересекает
исходную прямую в точке
.
Тогда расстояние от точки до прямой
будет равна длине отрезка
.
.
Найдем значения
и
.
,
.
Окружность.
Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Выведем уравнение окружности.
, (4)
где
- центр окружности.
Формула (4) представляет собой каноническое (нормальное) уравнение окружности.
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (4) примет вид:
Известно, что кривые второго порядка, каковой является и окружность, определяются уравнением вида:
,
где
- некоторые действительные числа,
называемые коэффициентами уравнения,
причем по крайней мере один из коэффициентов
A, B
и C отличен от нуля.
В частности для окружности эти коэффициенты должны удовлетворять требованиям:
-
A = C.
-
B = 0.
-
.
Эллипс.
Определение.
Эллипсом называется множество точек
плоскости, сумма расстояний каждой из
которых до двух данных точек
и
(называемых фокусами эллипса) есть
величина постоянная, равная 2a.
Пусть
М – произвольная точка эллипса с
фокусами F1
и F2.
Отрезки F1М
и F2М
(так же как и длины этих отрезков)
называются фокальными радиусами
точки М. Постоянную сумму фокальных
радиусов точки эллипса принято обозначать
через 2а. Таким образом, для любой
точки М эллипса имеем:
F1М + F2М = 2а.
Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F1, F2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов (r1 = F1М, r2 = F2М). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
r1 + r2 = 2а.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выражениями через координаты х, у.
Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (–с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:
Заменяя r1
и r2, получаем:
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки М(х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, получим:
или
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 – 2а2сх + с2х2, откуда (а2 – с2)х2 + а2у2 = а2(а2 – с2).
Здесь мы введем в
рассмотрение новую величину
;
а>с, следовательно, а2—с2>0
и величина b –
вещественна.
b2
= a2 –
c2,
тогда b2x2
+ a2y2
= a2b2
или
.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:
.