2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Действия над векторами, заданными проекциями.
Определение
1. Углом между векторами
и
называется наименьший угол
(
),
на который надо повернуть один из
векторов до его совпадения со вторым
после приведения этих векторов к общему
началу.
Осью называется направленная прямая. Направление прямой на рисунке обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси считается положительным, противоположное – отрицательным.
Рассмотрим ось l,
положительное направление которой
совпадает с направлением единичного
вектора
,
расположенного на оси l.
Такой вектор называется ортом оси
l.
Определение
2. Углом между вектором
и осью l называется
угол
между векторами
и
.
O 
l
Определение
3. Проекцией точки А на ось l
называется точка
,
в которой пересекается ось l
с плоскостью, перпендикулярной к l,
проходящей через точку А.
l
Определение
4. Компонентой (составляющей)
вектора
на ось l называется
вектор
,
где
,
соответственно проекции точек A,
B на l.
Определение
5. Проекцией вектора
на ось l (
)
называется длина его компоненты
на ось l, взятая со
знаком «плюс», если направление компоненты
совпадает с направлением оси l,
и со знаком «минус», если направление
компоненты противоположно направлению
оси l.
Если
= 0, то полагают
= 0.
Теорема
1. Проекция вектора
на ось l равна
произведению его модуля на косинус угла
между этим вектором и осью l:
=
.
Свойства:
1.
2.
3. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное
произведение векторов
и
обозначается символом
или (
,
).
Если угол между векторами
и
равен
,
то
=
.
Через
обозначим проекцию вектора
на ось с направлением вектора
.
Так как
и
,
можно записать
=
,
т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением первого.
Раскроем
физический смысл скалярного произведения.
Если вектор
изображает силу, точка приложения
которой перемещается из начала в конец
вектора
,
то работа A указанной
силы определяется равенством
,
т.е.
равна скалярному произведению векторов
и
.
Свойства:
1.
(переместительное свойство);
2.
(
называется скалярным квадратом
вектора);
3.
(распределительное
свойство);
4.
(сочетательное
свойство относительно числового
множителя).
Примечание:
-
-
Два вектора
и
перпендикулярны
(ортогональны) тогда и только тогда,
когда
= 0.
Скалярное произведение векторов в координатной форме:
Пусть даны два
вектора:
и
,
тогда
=
(1)
Условие ортогональности
можно представить в виде
= 0.
Направляющие косинусы вектора.
Пусть дан вектор
.
Обозначим углы наклона этого вектора
к осям Ox, Oy
и Oz соответственно
буквами
и
.
Три числа
принято называть направляющими
косинусами вектора
.
Полагая
,
получаем из (1)
(2)
Аналогично
(3)
.
(4)
Из формул (2) – (4) следует:
1)
,
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна 1.
2)
,
т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.