5.1 Існування потужності більшої, ніж с

Теорема 1.5.1. Нехай довільна множина і множина усіх підмножин множини . Тоді потужність множина менша за потужність множини , тобто .

Доведення. Покажимо спочатку, що . Позначимо літерою множину усіх одноелементних підмножин множини , тобто . Кожному елементу множини поставимо у відповідність елемент . Очевидно, що ця відповідність взаємно однозначна.

Тепер доведемо, що не еквівалентна множині . Припустимо протилежне, що і нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Кожен елемент або належить множині , або не належить. Наприклад, порожня множина не містить елемента, якому вона відповідає, тому що вона взагалі не містить елементів, а підмножина, яка збігається з множиною , очевидно містить елемент, якому вона відповідає. Розглянемо множину і нехай елемент, якому відповідає підмножина , тобто . Одержимо суперечність, тому що елемент не може належати , тому що в зібрано усі елементи, які не належать своєму образу, а з іншого боку він повинен там бути.

Застосування теореми Бернштейна

Теорема 1.5.2. Множина усіх неперервних функцій на відрізку має потужність континууму.

Доведення. Нехай , підмножина множини , яка визначається одним індексом – числом , що приймає континуум значень. Отже має потужність континууму і можно записати , де − множинаусіх послідовностей дійсних чисел.

З іншого боку, кожної функції поставимо у відповідність послідовність , де множина усіх раціональних чисел відрізку . Множину усіх таких послідовностей позначимо через . Завдяки тому, що кожна неперервна функція однозначно визначається послідовністю , указана відповідність є взаємно однозначною між множиною і , отже . Таким чином виконуються умови теореми Бернштейна, застосовуючи яку, одержимо . Оскільки множина має потужність континууму (див. властивість 6), то .

Задачі.

1. Довести, що множина всіх підмножин множини натуральних чисел є множиною потужності континууму.

2. Довести, що множина всіх підмножин будь-якої зчисленної множини є множиною потужності континууму.

3. Довести, що множина всіх дійсних функцій, заданих на сегменті , має потужність більшу, ніж континуум.

Глава II

ВІДКРИТІ І ЗАМКНЕНІ МНОЖИНИ В

Означення 2.1.1 Точка називається граничною точкою множини , якщо у будь-якому околу точки знайдеться хоча б одна точка множина , що відрізняється від точки .

Теорема 2.1.1. Для того щоб точкабула граничною точкою множини , необхідно і достатньо щоб у будь-якому околу точки знаходилась нескінченна множина точок з .

Доведення. Достатність очевидна, необхідність доведемо від противного. Нехай точка є граничною точкою множини , і в деякому околу точки знаходиться скінченна множина точок з , що відрізняється від точки . Нехай відстань від точки до і . Тоді в околу радіуса  ні буде не одної точка множини , що відрізняється від точки , а це суперечить тому, що точка гранична. Одержана суперечність спростовує припущення.

Теорема 2.1.2. Для того щоб точка була граничною точкою множини , необхідно і достатньо щоб знайшлась послідовність різних точок з множини , що збігається до точки .

Доведення. Достатність очевидна, доведемо необхідність. Нехай точка є граничною точкою множини і послідовність околів радіусу . Виберемо довільну точку в околу , в околу , і так далі виберемо точку , яка відрізняється від попередніх и точки , і так далі. Оскільки , то послідовність точок прямує до .

Зауваження. Гранична точка множини може належати або не належати множині . Наприклад, граничними точками півінтервала є точки сегмента .

Означення 2.1.2 Множина називається замкненою, якщо вона містить усі свої граничні точки. Далі замкнену множину будемо позначати буквою .

Приклади замкнених множин: сегмент , будь-яка скінченна множина, множина усіх натуральних чисел , множина усіх цілих чисел .

Означення 2.1.3 Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо вона належить разом з деяким околом.

Означення 2.1.4 Множина називається відкритою, якщо кожна точка множини внутрішня.

Приклади відкритих множин: інтервал , об'єднання інтервалів.

Означення 2.1.5 Точка називається ізольованою точкою, якщо існує окіл точки , який не містить точок множина, крім точки .

Означення 2.1.6 Замкнена множина називається досконалою, якщо кожна точка множини є граничною точкою цієї множини, тобто у множини немає ізольованих точок.