Двійкові дроби.

Означення 1.4.2. Двійковим дробом називається сума ряду , де або 1.

Цей ряд збігається, сума його невід’ємна і не перевищує одиниці тому, що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Отже кожному двійковому дробу відповідає число – сума ряду . Двійковий дріб будемо зображати символом і також називати двійковим дробом. Двійковий дріб виду , де , називається двійково-раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу , де m непарне число менше за . Двійково-раціональне число крім зображення (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі якщо ) має зображення .

Теорема 1.4.2. Кожному числу з інтервала (0; 1), що не є двійково-раціональним числом, відповідає єдиний двійковий дріб.

Доведення. Нехай і не є двійково-раціональним числом. Необхідно побудувати для будь-якого і довести, що частинна сума ряду прямує до числа . Визначимо спочатку число . Якщо , покладемо . Тоді і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Припустимо, що визначені числа , такі, що . Знову розглянемо два випадки. Якщо , то покладемо . і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Число не може дорівнювати , тому що не є двійково-раціональним числом. Слід, в силу принципу математичної індукції, визначено для будь-якого натурального і . З останній нерівності випливає .

Теорема доведена.

Означення 1.4.3. Нехай множина всіх двійкових дробів, множина усіх двійкових дробів, зображення яких містить нескінченну множину чисел , що дорівнюють 0, множина всіх двійкових дробів, зображення яких містить одиницю в періоді.

В силу теореми 1.4.2 має потужність континуум, а множина зчисленна, тому що вона нескінченна і є підмножиною множини раціональних чисел. Отже  множина потужності континууму.

Приклади важливих множин потужності континууму.

1. Множина всіх зростаючих послідовностей натуральних чисел має потужність континууму.

Доведення. Встановимо взаємно однозначну відповідність між множиною і H. Кожному елементу із множини H поставимо у відповідність двійковий дріб , у якого числа з номерами дорівнюють нулю, а всі інші – одиниці. Різним елементам множини H відповідають різні двійкові дробі і довільна дріб при цьому відповідає послідовності натуральних чисел , для яких .

2. Множина всіх послідовностей натуральних чисел має потужність континууму.

Доведення. Встановимо взаємно однозначну відповідність між множиною і H. Кожному елементу із множини H поставимо у відповідність послідовність . Оскільки послідовність зростає, послідовність є елементом множини . Різним елементам , множини H відповідають різні елементи множини і довільна послідовність із множини відповідає послідовності .

3. Якщо елементи множини А визначаються скінченною або зчисленною множиною значків, тобто або , кожен з яких приймає, незалежно від інших, континуум значень, то А має потужність континууму.

Доведення. В силу транзитивності еквівалентності, можливо вважати, що кожен значок приймає значення з множини  усіх послідовностей натуральних чисел. Тоді кожному фіксованому значенню значка відповідає елемент із множини . Поставимо у відповідність елементу (або ) послідовність натуральних чисел, яка визначається наступним чином: перший елемент послідовності, а потім записуємо елементи «пачками» , включаючи в n –ую пачку усі елементи , сума індексів яких дорівнює n і записуючи елементи їх відповідно зростанню верхнього індексу j. Легко бачити, що указана відповідність взаємно однозначна.

4. Множина A={  всіх точек к-вимірного евклідового простору , координати яких приймають континуум значень, є множиною потужності континууму.

Дійсно елементи множини A визначаються значками (координатами точки). Отже, в силу властивості 3 множин потужності континууму, множина A має потужність с.

5. Множина Т всіх послідовностей , де або 1, має потужність с.

Доведення випливає з того, що між множиною Т і множиною всіх двійкових дробів, можливо установити взаємно однозначну відповідність, зважаючи, що елементу Т відповідає двійковий дріб .

6. Множина всіх послідовностей дійсних чисел має потужність континууму.

Дійсно, елементи множини визначаються зчисленною множиною значків – членами послідовності, кожен з яких приймає, незалежно від інших, континуум значень, отже має потужність континууму.