Задачі.

1. Довести, що .

2. Довести, що .

3. Довести, що .

4. Довести, що .

5. Довести, що тоді і тільки тоді, коли .

6. Довести, що .

7. Довести, що .

8. Довести, що

9. Довести, що .

10. Довести, що , якщо і множини не перетинаються.

11. Довести, що .

12. Довести, що .

13. Верхня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать нескінченної системи множин .

14. Нижня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать усім множинам за виключенням скінченної кількості.

1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності

Означення 1.2.1. Правило або закон, по якому кожному елементу а множини А ставиться у відповідність один елемент b множини В, називається функцією обо відображенням множини А в В .

Функція звичайно позначається літерою латинського або грецького алфавіту, наприклад, і писати : , або , при цьому елемент називається образом елементу , а елемент прообразом елемент . Множина називається образом множини і позначається символом . Якщо при перетворенні кожен елемент є образом деякого елементу то кажуть, що перетворює А на В і це позначають так , або . Множина називається прообразом множини і позначається символом .

Поряд з термінами «функція» і «відображення» будемо використовувати рівнозначні ім у деяких сітуаціях терміни «перетворення», «оператор», «відповідність».

Означення 1.2.2. Взаємно однозначною відповідністю множин А і В називається відображення множини А на В, яке різним елементам множини А ставить у відповідність різні елементи множини В .

В цьому випадку прообраз кожної одно елементної множини є відображення множини В на А, яке теж є взаємно однозначною відповідністю. Відображення і називаються взаємно оберненими.

Задачі.

1. Нехай , і. Доведіть наступні співвідношення:

,

,

.

2. Нехай , і . Доведіть наступні співвідношення:

,

,

.

Означення 1.2.3. Якщо для множин А і В можливо указати взаємно однозначну відповідність, то множини А і В називається еквівалентними. Еквівалентність множин А і В позначається символом: А  В.

Властивості еквівалентних множин:

1. А  А .

2. Якщо А  В, то В  А .

Ця властивість називається транзитивністю.

3. Якщо множини попарно не перетинаються, множини теж попарно не перетинаються і для будь якого , то

.

4. Нехай А  В,  деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність, то . Якщо довільна підмножина множини А, то .

5. Якщо А  В, довільні підмножини множини А , такі що ,  деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність, то і

З останньої рівності випливає що , якщо , тобто  . Дійсно, і Отже .

6. Теорема 1.2.1 (Теорема Кантора-Бернштейна). Нехай підмножина множини еквівалентна множині , а підмножина множини еквівалентна множині . Тоді .

Перед доведенням теореми Кантора-Бернштейна розглянемо лему, яка цікава сама по собі.

Лема 1. 2.1. Якщо і . Тоді .

Доведення. Нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Покладемо . З умови леми і означення множин випливає їх монотонність: . Дійсно, для , це умова леми. Припустимо, що , якщо . Тоді , тобто .

Далі, внаслідок властивості 5 еквівалентних множин,

і в загальному випадку:

Нехай . Оскільки , то

(1.1.1)

і

. (1.1.2)

Тепер зауважимо, що і доданки у правих частинах рівностей (1.1.1)  (1.1.2) попарно не перетинаються. Окрім того . Отже, внаслідок властивості 3 еквівалентних множин, .

Доведення теореми Кантора-Бернштейна.

Нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Покладемо . Отже і, внаслідок умови теореми і транзитивності еквівалентності, . Так як , то виконуються умови леми 2.1. Отже і за умовою теореми .

Означення 1.2.4. Множини А і В називається однієї потужності, якщо вони еквівалентні.

Означення 1.2.5. Потужністю скінченної множини А називається число елементів в множині А . Потужність множини А будемо позначати символом . Отже, якщо множина містить n елементів, то = n.

Так як скінченні множини А і В еквівалентні тоді і тільки тоді, коли число елементів у множинах А і В збігається, то всі множини, що мають однакову кількість елементів, однієї потужності.

Означення 1.2.6. Будемо вважати, що потужність множини А не менша потужності множини В, якщо існує підмножина множини А , яка еквівалентна множині В. Цей факт будемо позначати таким чином .

Означення 1.2.7. Будемо вважати, що потужність множини А більша потужності множини В, якщо існує підмножина множини А , яка еквівалентна множині В, проте множина А не еквівалентна множині В.

Те, що множина А має потужність більшу потужності множини В будемо позначати через .