Глава y

Інтеграл Лебега

0. 5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.

Нехай є простою функцією, визначеною на вимірній множині , тобто існує зображення множини у вигляді об’єднання не більш ніж зчисленної множини попарно неперетинних вимірних множин таких, що , якщо . Таке зображення множини називається розбиттям.

Означення 5.1.1. Якщо множин скінченна кількість, то називається інтегровною за Лебегом на множені , а інтеграл Лебега буде сума . Інтеграл позначається символом , тобто

=.

Якщо проста функція приймає нескінченну множину значень, то вона називається інтегровною за Лебегом на множені , якщо збігається ряд і в цьому випадку інтеграл Лебега є сума ряду :

=.

Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом

1. Функція інтегровна за Лебегом і .

2. Функція Діріхле, яка визначена на сегменті рівністю

інтегровна за Лебегом на сегменті і .

Зауваження 5.1.1. Цей приклад показує перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана, тому, що, як відомо функція Діріхле не інтегровна за Ріманом.

Властивості інтеграла Лебега від простих функцій

1. Проста функція, що задана на множині міри нуль, інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Так як , то для будь-якого : і тоді

.

Отже, функція інтегровна за Лебегом на множині і

=.

2. Якщо проста функція обмежена, тобто , то вона інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. Обмеженість простої функції означає, що , де значення функції . Тоді . Отже функція інтегровна за Лебегом і

.

Зауваження 5.1.2. Ця властивість теж підкреслює перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана, тому, що, як відомо є обмежені функції (наприклад, функція Діріхле) які не інтегровні за Ріманом.

3. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, . Тоді

(5.1.1)

і якщо суми в (5.1.1) скінченні, то

, (5.1.2)

тобто існування інтеграла і сам інтеграл не залежить від того, як зображена проста функція.

Доведення. Кожну множинуі кожну множинуможливо зобразити у вигляді , . Окрім того, , якщо . Отже

. (5.1.3)

Суму зліва, використовуючи адитивність міри, можливо зобразити у вигляді:

.

Аналогічно, суму справа в (5.1.3) зобразимо у вигляді:

.

З (5.1.3) і одержаних рівностей випливає (5.1.1). Якщо суми в (5.1.1) скінченні, то з аналогічних міркувань випливає рівність (5.1.2) і

= .

4. Якщо проста функція інтегровна за Лебегом на множині , то вона інтегровна за Лебегом на будь-якій вимірній підмножині .

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді , якщо і . Так як , то

.

Отже інтегровна за Лебегом на множині .

5. Якщо проста функція інтегровна за Лебегом на множині , то для будь-якого числа інтегровна за Лебегом функція  і

.

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді , якщо і

.

Отже функція  інтегровна за Лебегом на множині і

.

6. Якщо прості функції і інтегровні за Лебегом на множині , то сума + інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, . Тоді +, якщо , і

Отже функція + інтегровна за Лебегом на множині і

.

Зауваження 5.1.3. Поняття простої на множині A функції пов’язано з розбиттям множини A на не більш ніж зчисленну суму вимірних множин. З доведення попередньої властивості випливає, що якщо і прості функції задані на множині A, то можливо уважати, що розбиття множини A для функцій і одне і теж. Цим зауваженням далі будемо користуватись.

7. Якщо для простих інтегровних за Лебегом на множині функцій і виконується нерівність  , то

.

Доведення. Нехай , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , а , якщо . З умови випливає нерівність , і тоді

.

Ця властивість називається монотонністю інтеграла.

8. Якщо для простих на множині функцій і виконується нерівність  , і функція інтегровна за Лебегом на множині , то функція інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. Нехай , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , а , якщо . З умови випливає нерівність , і

.

Отже функція інтегровна за Лебегом і

.

Наслідок 5.1.1. Нехай є простою функцією на множині , Для того щоб функція була інтегровна за Лебегом на множині , необхідно і досить, щоб була інтегровна функція .

Дійсно, якщо інтегровна за Лебегом на множині , то інтегровність функції випливає з означення інтегровності простої функції. Обернено твердження випливає з попередньої властивості – достатньо взяти .

Зауваження 5.1.4. Відомо, що якщо функція інтегровна за Ріманом, то функція може не бути інтегровною за Ріманом. Отже наслідок 5.1 показує перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана.

9. Якщо для простих на множині функцій і виконується нерівність , де деяке дійсне число, і функція інтегровна за Лебегом на множині , то функція інтегровна за Лебегом.

Доведення. З умови випливає нерівність

і отже нерівність

.

Використовуючи останню нерівність, наслідок 5.1, приклад 1, властивості 6 і 8 інтеграла одержимо властивість 9.

10. Адитивність інтеграла Лебега. Нехай проста функція інтегровна за Лебегом на множені і деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин . Тоді

(5.1.4)

і, якщо справа маємо ряд, то він збігається абсолютно.

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді, в силу властивості 6, функція інтегровна за Лебегом на кожній множені і

(5.1.5)

Так як проста функція інтегровна за Лебегом на множені , то ряд справа збігається, отже абсолютно збігається ряд .

Рівність (5.1.4) випливає з (5.1.5), якщо в (5.1.5) усюди убрати знак модуля.

11. Нехай деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин і проста функція інтегровна за Лебегом на кожній множені . Якщо збігається ряд

, (5.1.6)

то функція інтегровна за Лебегом на множені .

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді

і, оскільки , то використовуючи збіжність ряду (5.1.6) одержимо

.

Отже, функція інтегровна за Лебегом на множені .

Теорема 5.1.1. (Критерій вимірності функції в термінах простих функцій). Для того щоб скінченна на множені функція була вимірною необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції .

Доведення. Достатність випливає з теореми 4.1.2 про граничний перехід у класі вимірних функцій. Доведемо необхідність. Для будь-якого натурального розглянемо множини

Оскільки функція вимірна, то множини вимірні і здійснюють розбиття множини . Покладемо , якщо . Функції прості. Оцінимо різницю . Нехай , тоді знайдеться ціле число таке, що і

.

Отже, послідовність простих функцій рівномірно збігається на множені до функції .

Теорема доведена.