3.8 Загальне поняття міри

Нехай (X) деяка -алгебра підмножин множини X. Дійсна функція  множини називається мірою, якщо вона визначена на (X), приймає невід’ємні значення і -адитивна, тобто

1. (X).

2. .

3. до будь-якої скінченної або зчисленної системи множин (X).

Пара (X, (X)) називається вимірним простором, а трійка (X, (X),), де міра  визначена на -алгебрі (X), називається простором з мірою. Зокрема, якщо міра  нормована умовою , то трійка (X, (X),) називається ймовірнісним простором, а елементи -алгебри (X)  подіями.

Глава iy

ВИМІРНІ ЗА ЛЕБЕГОМ ФУНКЦІЇ

1. Означення вимірної функції.

Означення 4.1.1 Функцією заданою на множені називається правило або закон по якому кожному елементу поставлено у відповідність число .

Це відоме означення функції. Доповнимо його – будемо надалі вважати, що функція може приймати і нескінченні значення і . Це можливо мотивувати наступним прикладом. Нехай частинні суми функціонального ряду в точці прямують до , якщо . Логічно визначити, що сума цього ряду в точці дорівнює , тобто .

При цьому правила дії над цими «невласними» числами і звичайними числами визначаються так, щоб операція суми і добутку були комутативні і асоціативні. При цьому сума і різниця нескінченнності і звичайного числа дорівнює нескінченності того же знаку, добуток нескінченності на число, що не дорівнює нулю, а також добуток нескінченності на нескінченність, дорівнює нескінченності, знак якої визначається як і до добутку чисел, добуток нескінченності на нуль є нуль. Частка довільного числа і нескінченності є нуль. Сума нескінченностей одного знаку дорівнює нескінченності того же знаку. Різниця нескінченностей різних знаків є нескінченність зі знаком зменшуваного.

Не мають сенсу сума нескінченностей різних знаків, різниця нескінченностей одного знаку, частка нескінченностей.

Надалі вважаємо, що функція задана на вимірній множині , що належить деякій -алгебри  вимірних множин, можливо, ради простоти можливо уважати, що вимірна за Лебегом обмежена підмножина . При цьому будемо уважати, що якщо на -алгебри  введена міра, то вона задовольняє наступну вимогу: будь-яка підмножина множини , міра якої дрівнює нулю, є вимірною і міра її теж нуль. Множини вимірні за Лебегом задовольняють цю вимогу.

Введемо позначення: , де довільне дійсне число. Аналогічно визначаються множини ,

і .

Означення 4.1.2. Функція , що задана на вимірній множені називається вимірною, якщо для будь-якого вимірна множина .

Теорема 4.1.1 (Критерій вимірності). Для того щоб функція була вимірною необхідно і достатньо щоб для будь-якого вимірними були множини , , .

Доведення. Нехай функція вимірна. Зобразимо множину у вигляді

.

Дійсно, якщо , то для будь-якого : і слід елемент належить провій частині. Навпаки, якщо елемент належить провій частині, то . Спрямувавши в , одержимо , слід елемент належить лівій частині. Оскільки множини вимірні, то і множина  вимірна.

Вимірність множин , випливає із рівностей:

, .

Нехай для будь-якого вимірна множина . Множину можливо зобразити у вигляді

.

Дійсно, якщо , то знайдеться натуральне число таке, що і слід елемент належить провій частині. Навпаки, якщо елемент належить провій частині, то знайдеться натуральне число таке, що . А тоді і отже елемент належить лівій частині. Оскільки множини вимірні, то і множина  вимірна.

Нехай для будь-якого вимірна множина . Тоді вимірне доповнення до множини , тобто вимірна множина . Якщо вимірна для будь-якого множина , то вимірне доповнення цієї множини до множини , тобто вимірна множина .

Теорема доведена.