3.7. Поняття вимірної множини в

Означення 3.7.1. Паралелепіпедом в просторі будемо називати множину точок , координати яких задовольняють умови:

¥ Ŧ , де символи ¥, Ŧ незалежно один від одного приймають значення < або , і .

Зокрема умови , визначають звичайний паралелепіпед, а умови ,  відкритий паралелепіпед.

Очевидно, що перетин паралелепіпедів є паралелепіпед, умова , визначає порожню множину, різницю двох паралелепіпедів можливо зобразити як об’єднання скінченної множини неперетинних паралелепіпедів, отже множина усіх паралелепіпедів є півкільце.

Означення 3.7.2. Елементарними множинами в будемо називати будь-ялі скінченні об’єднання попарно неперетинних паралелепіпедів. Зокрема, будь-який паралелепіпед – елементарна множина.

Отже будь-яка елементарна множина має вигляд , де може бути довільним натуральним числом і паралелепіпеди попарно не перетинаються.

Означення 3.7.3. Мірою будь якого паралелепіпеду називається його об’єм. Позначається міра символом .

Тобто незалежно від того, чи буде паралелепіпеду замкнутим, або відкритим, або не містить деякі свої грані . Зокрема, міра паралелепіпеду меншої вимірності і міра порожньої множини дорівнює нулю.

Означення 3.7.4. Мірою будь якої елементарної множини називається сума об’ємів паралелепіпедів , тобто .

Властивості міри елементарних множин такі, як і в одномірному випадку. Тому і продовження міри за Лебегом здійснюється аналогічно.

В загалі, якщо визначена міра на деякому півкільці , розглядається кільце  усіх скінченних об’єднаннь , де  і продовжується міра спочатку на кільце , а потім і на більш широке кільце вимірних множин.

Узагальнення поняття вимірності в

Нехай деяка неспадаюча неперервна зліва функція, що задана на сегменті . Покладемо , , , . Маючи міру на будь-якому відрізку, визначимо спочатку міру до будь-якої елементарної множини , а потім користуючись її адитивністю продовжимо за Лебегом на більш широку -алгебру вимірних множин. Цю міру називають мірою Лебега-Стільтьєса і позначають символом . У випадку, коли , вона збігається з мірою Лебега.

Можливі наступні три випадки.

1. Дискретна міра. В цьому випадку функція кусково-стала. Тобто існує скінченна множина точок таких, що . Міра будь-якого відрізку дорівнює . Можливо розглянути функцію , що має зчисленну множину точок розриву.

2. Абсолютно неперервна міра. Вона визначається функцією такою, що , якщо міра Лебега множини дорівнює нулю. Ця міра визначається так званими абсолютно неперервними функціями, які будемо розглядати пізніше.

3. Сингулярна міра. В цьому випадку міра будь-якої скінченної множини дорівнює нулю, проте існує множина така, що міра Лебега множини дорівнює нулю а .

Приведемо приклад такої міри. Розглянемо інтервали , що є складовими інтервалами канторової відкритої множини . Відомо, що , де , . Будь-яка точка канторової замкнутої множини має вигляд , де . Значок означає, що подано у трійковий системи числення. Для будь-якого визначимо , де значок означає, що цій дріб подано у двійковий системи числення. У лівому кінці інтервалуфункціяприймає значення: , а у правому теж саме значення: . Визначимо функцію на кожному інтервалі рівною спільному значенню її на кінцях інтервалу. Властивості функції .

1.

2. Функція не спадає на сегменті . Дійсно, якщо , то , де довільне натуральне число. Отже, .

3. Функція неперервна на сегменті . Припустимо, що це так. Тоді знайдеться точка така, що . Тоді, внаслідок того, що функція не спадає, будь-яке число функціяне приймає. Запишемо його у двійковий системі числення: . Тоді функція у точці , де приймає значення . Одержана суперечність спростовує припущення.

Покажемо, що функція породжує сингулярну міру. Перш за все, в силу неперервності у кожній точки , . Отже, завдяки адитивності міри , міра будь-якої скінченної або зчисленної множини дорівнює нулю. Очевидно також, що , а = 0 тому, що , бо функція на кінцях кожного інтервалу приймає рівні значення. Нагадаємо, що звичайна міра Лебега .

Функція називається канторової сингулярною функцією. Пізніше цю функцію будемо розглядати у зв’язку з іншими задачами.

Зауважимо, що в загальному випадку міра може визначатися як сума розглянутих мір.