3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.

Означення 3.5.1 Різниця називається внутрішньою мірою множини і позначається символом .

Нехайідовільні обмежені неперетинні множини і . Застосуємо нерівність (3.4.9) до множин

. (3.4.14)

Використавши рівність , віднімемо ліву і праву частини нерівністі (3.4.14) від числа . Тоді

(3.4.15)

На підставі означення 3.5.1 нерівність (3.4.15) можливо записати як

, (3.4.16)

де ідовільні обмежені неперетинні множини.

По індукції нерівність (3.4.16) поширюється на випадок скінченної системи обмежених неперетинних множин, а потім, внаслідок монотонності внутрішньої міри і на випадок зчисленної системи неперетинних множин , об’єднання яких обмежене:

.

Оскільки довільне, то маємо нерівність

(3.4.17)

Теорема 3.5 Для того щоб обмежена множина була вимірною, необхідно і достатньо щоб

. (3.4.18)

Доведення. Необхідність. Нехай множина є вимірною. Тоді вимірна множина і

. Отже (3.4.18) виконується.

Достатність. Припустимо тепер, що (3.4.18) має місце. Внаслідок властивості точної нижньої межі для кожної з множин і та довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що і . Тоді на підставі наслідку 2 і внаслідок того, що

. (3.4.19)

Якщо множина є об’єднання скінченної системи множин , то в якості елементарної множини візьмемо множину , а якщо нескінченної, то виберемо таке , що , і покладемо множину рівною . Тоді або порожня множина, або . Отже , або. Розглянемо різницю . Внаслідок нерівності (3.4.19) . Отже . За означенням вимірної мнжини множина є вимірною.

Теорема доведена.

Приклади вимірних множин і невимірної множини.

1. Будь-яка обмежена відкрита множина вимірна і дорівнює сумі мір складових інтервалів.

Доведення. Якщо відкрита множина є об’єднання скінченної множини складових інтервалів, то елементарна множина і . Нехай . Внаслідок властивості 10 множина є вимірною і .

2. Будь-яка обмежена замкнена множина вимірна і , де найменший сегмент, що містить замкнену множину .

Доведення. Нехай найменший сегмент, що містить замкнену множину . Тоді множина відкрита і отже є вимірною, а тоді, внаслідок властивості 1 вимірних множин, вимірна і (завдяки наслідку із властивості 6) .

3. Будь-яка обмежена не більш ніж зчисленна множина A вимірна і

Доведення. В силу адитивності, якщо множина A скінченна, або адитивності, якщо множина A зчисленна, і тому що міра одно елементної множини дорівнює нулю, маємо .

4. Означення 3.4.2 Необмежена множина називається вимірною, якщо до будь-якого вимірною є множина . Мірою вимірної необмеженої множини називається .

Так як величина не спадає, коли зростає, то границя існує. Якщо вона дорівнює , то .

Приклад. Множини , будь-який промінь з , вимірні. , .

5. Відображення, що визначається функцією фіксоване дійсне число, називається зсувом.

При зсуві будь-який інтервал переходить в інтервал тієї ж довжини. Дійсно, якщо задовольняє нерівність , то . Отже образом інтервала буде інтервал тієї ж довжини. Аналогічно доводиться, що будь-який півінтервал або сегмент перетворюється у півінтервал або сегмент тієї ж довжини. Зсув є взаємно однозначним перетворенням, тому елементарні множини переходять в елементарні тієї ж міри. Отже при зсуві зовнішня міра множин не змінюється, вимірні за Лебегом множини переходять у вимірні тієї ж міри.