Парная линейная регрессия

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических (статистических, реальных) значений результативного признака у от расчетных (теоретических) будет минимальна.

(2.2)

Для линейной однофакторной модели:

(2.3)

Функция двух переменных S (а,b) может достигнуть экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е. когда

и (2.4)

Вычисляя эти частные производные, получим:

(2.5)

После несложных преобразований получаем систему нормальных уравнений для определения величины параметров а и b уравнения линейной однофакторной модели:

(2.6)

где п – количество наблюдений (объем выборки).

В уравнении регрессии параметр а показывает совокупное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов; параметр b – коэффициент регрессии – показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Полученное уравнение регрессии всегда дополняют показателем тесноты линейной связи – коэффициентом корреляции

(2.7)

Коэффициентом корреляции всегда находится в интервале

Если →1, то связь между переменными прямая и сильная.

Если →-1, то связь между переменными обратная и сильная.

Если →0, то говорят об отсутствие линейной связи между переменными

Параметр b в уравнении регрессии и коэффициент корреляции всегда имеют одинаковый знак.

После того как построено уравнение регрессии, необходимо оценить его качество. Для этого можно использовать коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации .

Коэффициент детерминации рассчитывается по следующей формуле:

(2.8)

Значение коэффициента детерминации всегда находится внутри интервала

Если →1, то это означает высокое качество построенного уравнения. Такое уравнение можно использовать для прогнозирования и дальнейшего анализа.

Если →0, то это означает плохое качество построенного уравнения. Такое уравнение нельзя использовать для прогнозирования и дальнейшего анализа.

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Чем больше доля объясненной дисперсии, тем меньше роль прочих неучтенных факторов, и следовательно построенная модель хорошо аппроксимирует исходные статистические данные.

Основные причины того, что построенной уравнение регрессии низкого качества:

1. Неправильно выбрана спецификация модели, то есть от линейной модели необходимо перейти к нелинейной.

2. В модели не учтен один из важных объясняющих показателей, то есть от парной регрессии необходимо перейти к множественной.

Средняя ошибка аппроксимации это среднее отклонение расчетных значений от фактических.

(2.9)

Значение до 8%, свидетельствует о хорошем качестве модели

Коэффициент эластичности Э показывает на сколько процентов, в среднем по совокупности, изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. Расчетная формула для коэффициента эластичности:

(2.10)

В таблице 2.2.1 приведены коэффициенты эластичности для разных функций.

Таблица 2.2.1