12. Связь максимальной кратности обнаруживаемых и исправляемых ошибок с минимальным кодовым расстоянием.

При исправлении ошибок по методу max правдоподобия неправильное декодирование может произойти, если кодовое расст-е между принятой и переданной комбинациями окажется > чем до к-л другой разрешенной. Это может произойти, когда сочетание ошибок изменит больше половины позиций, в кот. переданная комбинация отлич. от к-л разрешенной. Поэтому код с min кодовым расст-ем d₀ имеет кратность исправляемых ошибок S<d₀/2.

S_max= {d₀/2-1, d₀ – четн.; (d₀-1)/2, d₀- нечет.

В о.сл. выполняется след. связь пар-ров кода d₀ ≥ r+S+1 (r>S).

13. Показатели качества корректирующего кода

Одной из основных характеристик корректирующих кодов является избыточность , характеризующая степень удлинения кодовых комбинаций с целью обеспечения соответствующих корректирующих способностей. Если на каждые n символов кодовой комбинации приходится к информационных символов то (n-к) – проверочные (контрольные), тогда степень избыточности данного кода может быть оценена из следующих формул: 1) R_n=(n-k)/n=1-k/n 2) R_n =(n-k)/k=n/k-1 (чаще используется) Коды обеспечивающие заданную корректирующую способность при минимально возможной избыточности наз. оптимальными корректирующими кодами ( или плотно упакованными). На практике степень оптимальной избыточности кода выбирают с учетом сложности технической реализации процессов кодирования и декодирования. С увеличением длины комбинаций экспоненциально возрастают требования к объему памяти кодеров и декодеров, а также временные задержки при кодировании и декодировании.

14. Геометрическая интерпретация блоковых корректирующих кодов

Любая n- разрядная двоичная кодовая комбинация может быть интерпретирована согласно Хеммингу как вершина n-мерного единичного куба. n-мерный единичный куб имеет 2ⁿ такая модель позволяет дать простую геометрическую интерпретацию понятию кодового расстояния м/у двумя любыми кодовыми комбинациями, а именно он равно наименьшему числу ребер единичного куба, вдоль которых необходимо пройти, чтобы перейти от одной кодовой комбинации до другой.

15. Принципы построения блоковых линейных кодов

Принципы построения корректирующих кодов типа (n, k)

В простейшем случае обнаруживать ошибки в передаваемых кодовых комбинациях можно путем сравнения принятых кодовых комбинаций с набором всех разрешенных. Такая методика требует необходимости хранения всех разрешенных комбинаций в памяти декодера, что не всегда возможно или целесообразно. В связи с этим усилия ученых были направлены на разработку методов кодирования, допускающих наиболее простую техническую реализацию. К числу таких кодов относятся линейные систематические коды, в которых (n-k) проверочных символов являются комбинациям информационных символов. Т.к. в общем случае новую разрешенную комбинацию можно получить путем линейной комбинации двух других разрешенных. Такие коды наз. линейными. Такое формирование кодовых комбинаций существенно упрощает техническую реализацию кодеров и декодеров. Подклассами систематических кодов являются коды Хемминга, циклические коды, коды БЧХ.

Принципы построения линейных кодов

Основной принцип: отыскание процедур, позволяющий получить весь набор разрешенных комбинаций путем конечного числа простых линейных преобразований одной из исходных разрешенных комбинаций. При этом желательно, чтобы найденная процедура позволяла не сохранять в памяти все разрешенные комбинации, а давало бы возможность получить информ об ошибках по результатам конечного числа алгебраических комбинаций над символами принимаемых кодовых комбинаций. В линейных кодах разрешенные комбинации получают путем суммирования по модулю 2 различных сочетаний нескольких исходных комбинаций. Проверочные символы в этом случае также получают путем суммирования по модулю 2 определенного числа информационных символов. Обнаружение ошибок в этом случае основано на сопоставлении проверочных символов принятой комбинации с проверочными символами сформированными с декодерами из принятых информационных. Если ошибка имеется то суммирование по модулю 2 принятого проверочного символа и проверочного символа, образованного из информационных даст 1. при отсутствии ошибки получается 0. Такая операция выполненная для проверочных всех символов принятой кодовой комбинации дает некоторый набор значений наз. вектором ошибки (синдром кодовой комбинации). Для исправления ошибок каждому ненулевому синдрому приписывают наиболее вероятные для данного канала ошибки.