Теорема Котельникова и ее практическое значение

Для использования преимуществ цифровых устройств в системах передачи и обработки информации возникает необходимость в преобразовании непрерывных сигналов в дискретные. С этой целью наиболее часто используется методы дискретизации (т.е. квантование по времени) при постоянном шаге дискретизации. Методы равномерной дискретизации получили наиболее широкое применение, поскольку неравномерная дискретизация является крайне неудобной и мало пригодной для технических целей, поскольку не позволяет осуществлять синхронизацию отдельных устройств СПД и затрудняет процесс восстановления сигнала на приемной стороне.

В случае использования равномерной дискретизации возникает вопрос о выборе оптимального (предельного) шага дискретизации.

В 1933 г. академиком Котельниковом была доказана теорема, играющая важную роль в теории информации.

Теорема: любая непрерывная функция , частотный спектр который ограничен сверху некоторым значением частоты, может быть полностью и безошибочно восстановлена по ее дискретным значениям (отсчётам), взятым через интервал времени:

(*)

где, и ψ_к(t, t_к)=

Каждая функция отчетов ψ_к представляет собой с точки зрения теории сигналов реакцию идеального фильтра низкой частоты, имеющего граничную частоту , на единичное импульсное воздействие.

Из теоремы (*) следует, что по заданным мгновенным значением функцииможно восстановить непрерывное сообщение, пропуская импульсные значения отчетов через идеальный П-образный фильтр низкой частоты, имеющий полосу пропускания от 0 до.

Процесс восстановления непрерывного сообщения по заданным выборкам (отчетам) называется сглаживанием или интерполяцией; функции, используемые для разложения данной функции , могут представлять собой, в общем случае, не обязательно, набор функций отчетовКотельникова.

В качестве таких базисных функций могут использоваться функции Уолша, Хаара и др. Конкретный выбор этих функций определяется условиями задачи, возникающей при прохождении сигналов через информационную систему.

Виды переносчиков сигналов и их характеристики. Способы формирования сигналов.

Для передачи и последующей обработки первичное сообщение надо нанести на подходящий материальный носитель. Чаще всего для этого используются процессы электромагнитной природы информации, имеющие непрерывный (гармонический), или же дискретный характер в виде последовательности импульсов.

Процесс нанесения информации на переносчик заключается или сводится к изменению характеристик используемого процесса в соответствии с первичным сообщением.

Параметры, которые используются для нанесения информации, называются информационными.

Процесс управления информационными параметрами переносчика, называется модуляцией.

Обратная операция, заключающаяся в восстановлении исходного сообщения, называется демодуляцией.

Физическая реализация этих операций осуществляется с помощью функциональных преобразователей сигналов, называемых модуляторами и демодуляторами. Обычно эти устройства в рамках используемой информационной системы, образуют взаимосвязанную пару, т.е. модуль, работающий совместно с генератором сигналов переносчиков.

В зависимости от вида и числа используемых информационных параметров процесса-переносчика, могут применяться различные виды модуляции.

В зависимости от числа возможных информационных параметров и характера их поведения во времени, переносчики информации можно поделить на три типа:

1. Стационарные – это переносчики, которые характеризуются наличием (в отсутствии модуляции) постоянства во времени своего исходного состояния.

Такие переносчики имеют фактически один информационный параметр, а именно уровень (прямая модуляция-ПМ).

2. Гармонические процессы (колебания или волны) к которым относятся процессы, происходящие, в отсутствии модуляции, по гармоническому закону.

У таких носителей в качестве информационных параметров могут использоваться амплитуда, частота и фаза. В соответствии с этим различают амплитудную модуляцию, и частотную модуляцию, фазовую модуляцию: АМ, ЧМ, ФМ.

₁₂

3. Импульсные последовательности.

При использовании переносчиков третьего типа возникает возможность наиболее широкого ассортимента использования методов модуляции: АИМ, ЧИМ, ФИМ, ШИМ, а также их комбинации.