§5. Задача о плоской ламинарной затопленной струе

Рассмотрим теперь задачу о плоском установившемся движении вязкой жидкости в виде струи, исходящей из узкого отверстия . Пусть в покоящейся жидкости, расположенной справа от оси Оу, распространяется струя жидкости, исходящая из очень узкого отверстия, находящегося в начале координат, и имеющая ось Ох осью симметрии (рис. 5.4). Вследствие трения струя захватывает некоторую часть покоящейся жидкости и увлекает ее за собой. Струя расширяется вниз по течению, в то время как скорость течения в центре струи уменьшается. Принимаем, что щель бесконечно узка, поэтому для того, чтобы количество протекающей жидкости, а также импульс имели конечные значения, скорость в щели должна быть бесконечно большой. Так как поперечные размеры струи весьма малы по сравнению с продольными, то мы можем применить уравнения теории пограничного слоя. Конечно, как и в случае пластинки, полученные результаты будут пригодны только начиная с некоторого удаления от начала координат.

В виду того, что в покоящейся жидкости мы имеем постоянное давление и, следовательно, отсутствие градиента давления, то для функции тока ψ (х,у) мы получаем то же уравнение

, (5.62)

как и в случае обтекания пластинки равномерным потоком. Однако граничные условия будут теперь другими. А именно, на оси Ох мы имеем условия:

, при , (5.63)

вытекающие из симметрии движения относительно оси Ох. Условие на бесконечности в данном случае принимает вид:

при (5.64)

так как основной поток отсутствует и, следовательно, .

Докажем теперь, что количество движения жидкости, проходящее через каждую прямую х=х_о, будет постоянной величиной, не зависящей от х_о. В самом деле, через элемент dy прямой х=х_о проходит масса жидкости , несущая количество движения , проекция которого на ось Ох равна .Вследствие симметрии, нам достаточно найти проекцию количества движения жидкости на ось Ох; эта проекция имеет величину

. (5.65)

Если жидкость простирается до бесконечности и там находится в покое, то давление можно считать всюду постоянным, то есть р=const. Применяя теорему об изменении количества движения жидкости к области между двумя прямыми, параллельными оси у, и, используя постоянство давления, мы приходим к выводу о постоянстве переносимого струей количества движения, то есть

.

Чтобы решить уравнение (5.62), положим

; , , .

Обозначая штрихами производные по ξ, легко найдем, что

, ,

, , (5.66)

.

Поэтому уравнение (5.62) принимает вид:

. (5.67)

Мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения ζ, если примем, что

,

откуда

.

С другой стороны, условие

приводит к равенству

(5.68)

и так как М_о не зависит от х, то необходимо положить

.

Решая два полученных уравнения для α и β, находим

; .

Итак, если мы примем, что

, , (5.69)

то для определения ζ(ξ) мы будем иметь вытекающее из (5.67) уравнение

. (5.70)

Из (5.63), (5.64) и (5.66) вытекают граничные условия, которым должна удовлетворять функции ζ(ξ):

при ,

при . (5.71)

Уравнение (5.70) очень легко интегрируется

.

Из условий (5.71) следует, что надо принять С₁=0, так что

.

Это уравнение опять-таки интегрируется

.

Так как при , то значение С₂ неотрицательно, положим поэтому

.

Итак,

, или ;

интегрируя это уравнение, находим:

.

Так как ζ=0 при ξ=0, то С₃=0. Поэтому

, .

Для сокращения письма положим:

,

тогда находим окончательный результат

. (5.72)

Величина а легко выражается через М_о путем использования формулы (5.68):

;

но

; ; ; ,

поэтому

. (5.73)

Итак,

. (5.74)

Пользуясь выражением (5.72) и (5.69) для ζ(ξ), получаем:

. (5.75)

Для проекций скорости легко находим выражения [4]:

,

. (5.76)

Рисунок (5.4) дает построенные на основе этих выражений линии тока и зависимость составляющей скорости u от у в трех сечениях струи. Из нее ясно видно, как струя постепенно захватывает все большее количество жидкости. Легко проверить это и аналитически. Количество жидкости, протекающей через прямую, параллельную оси Оу и отстоящую от нее на расстоянии х, очевидно, равно

но

,

и, следовательно,

. (5.78)

Рис. 5.4.

Этот процесс связан с подтеканием жидкости к оси Ох, и действительно, легко видеть, что

; ;

это подтекание наиболее интенсивно в непосредственной близости от оси Оу и убывает по мере возрастания х. Таким образом, расход через начальное сечение струи (х=0) равен нулю, а затем расход растет благодаря подтеканию с боков струи. Расход растет также с увеличением импульса.