§3. Обтекание шара потоком жидкости

Рассмотрим задачу об установившемся обтекании шара потоком ньютоновской жидкости, имеющим на бесконечности постоянную скорость U_o при давлении .

Решение этой задачи при малых числах Рейнольдса принадлежит Стоксу. Подробное изложение метода получения решения приведено в .

Совместим центр шара с началом координат и направим ось х параллельно скорости U₀, радиус шара пусть равен R. Система уравнений (4.2) и (4.3) имеет вид

, ,

. (4.10)

Граничные условия:

, , где

, , , . (4.11)

В постановке Стокса характеристики потока зависят только от следующих параметров:µ, R, U_0.

Сила сопротивления шара F может выражаться только через эти величины; из них можно составить одну комбинацию с размерностью силы – произведение µ·R·U₀. Следовательно, пользуясь теорией размерности получим:

, (4.12)

где с – постоянная величина.

Не входя в подробности вычислений, приведем решение системы уравнений (4.10) с граничными условиями (4.11). Получим следующие формулы для составляющих скорости и давления:

(4.13)

где .

Полное сопротивление шара F можно получить, используя полученное решение. Получим

. (4.14)

Это есть известная формула Стокса для сопротивления шара. Необходимо отметить, что сопротивление пропорционально первой степени скорости. Сравнив (4.14) и (4.12) получим, что с=6.

Полученное решение соответствует действительности только при малых значениях числа Рейнольдса <<1, где d=2R.

Представим сопротивление F как произведение коэффициента сопротивления с_х на площадь поперечного сечения шара и на динамическое давление . Получим

. (4.15)

Заменив F его значением из формулы (4.14), найдем коэффициент сопротивления

(4.16)

где .

Полученное выше решение задачи об обтекании шара было уточнено Осееном. Дело в том, что на достаточно больших расстояниях от шара решение Стокса оказывается неприемлемым. Для того, чтобы убедиться в этом, оценим член , которым мы пренебрегли в уравнении (4.1). Для такой оценки обратимся к соотношениям (4.13) и рассмотрим для простоты только точки, лежащие на оси Ох, для которых х = r. На больших расстояниях . Производные же от скорости на этих расстояниях порядка величины , как это видно из (4.13). Следовательно, . Оставленные же в уравнении (4.1) члены – порядка величины (как это видно из (4.13) той же формулы для скорости или для давления). Условие >> выполняется только на расстояниях << (<<1). На больших расстояниях полученное распределение скоростей оказывается неправильным [2].

Для получения распределения скоростей на больших расстояниях от обтекаемого шара следует учесть отброшенный в (4.1) член . Так как на этих расстояниях скорость мало отличается от U₀, то можно написать приближенно вместо . Тогда мы получим для скорости на больших расстояниях линейное уравнение

. (4.17)

Решение этого уравнения изложено в . С помощью этого решения можно получить уточненную формулу для коэффициента сопротивления шара:

. (4.18)

Результаты опытов показывают, что формула Осеена (4.18) пригодна до Re=1,5. Уточнение Осеена оправдано вдали от шара на расстояниях r>>R. Поэтому, давая правильное уточнение картин движения на больших расстояниях от обтекаемого тела, уравнение Осеена не дает такого уточнения на близких расстояниях. Это проявляется в том, что решение Осеена не удовлетворяет точному условию обращения в нуль скорости на поверхности шара. Поэтому может показаться, что поправка Осеена не может послужить для правильного вычисления поправочного члена в силе сопротивления. Однако, поскольку мы рассматриваем движения с малыми числами Re, то как полные инерционные члены, так и заменяющие их поправочные выражения Осеена в уравнении (4.17) будут малы по сравнению с членами, происходящими от сил вязкости. Следовательно, в области, примыкающей к шару уравнения (4.17) и уравнения Стокса (4.10) являются в одинаковой мере хорошими приближениями к полной системе дифференциальных уравнений (4.1).

Формулу Стокса (4.14) или (4.16) можно применять только в случаях очень малых чисел Рейнольдса, например для дождевых капель или пыли в атмосфере, падения стальных шариков в очень вязких жидкостях.

Пользуясь формулой Стокса (4.14) при очень малых числах Re можно найти скорость осаждения мелких капель тумана и прочих мелких частиц. Приравнивая силу сопротивления шара (4.14) результирующей сил гидростатического давления, получим формулу для скорости падения шариков малых размеров в вязкой жидкости.

(4.19)

где - плотность вещества шарика,- плотность жидкости.

Формула (4.19) используется для определения коэффициента вязкости сильно вязких ньютоновских жидкостей. Вискозиметр, основанный на принципе падения тяжелого шарика, состоит из трубки с делениями. Время падения от одного фиксированного деления трубки до другого, определяется секундомером. Найденное так значение скорости подставляют в (4.19) и определяют коэффициент динамической вязкости. При больших числах Рейнольдса полученные выше формулы становятся неудовлетворительными. Объясняется это тем, что с возрастанием числа Рейнольдса в кормовой области шара образуется отрыв и сложные нестационарные явления типа автоколебаний. Для широкого диапазона чисел Re приходится пользоваться эмпирическими данными или решать задачу численно.