3. Основные уравнения голографии (уравнения Габора)

Формализуем описанный выше принцип голографической записи волновых фронтов. Поскольку время регистрации и восстановления голограммы, в общем случае, значительно превышает период осцилляции используемого излучения, то при описании процессов получения голограммы и восстановления волнового фронта нас будут интересовать только комплексные амплитуды света непосредственно вблизи регистрирующей среды.

Комплексную амплитуду объектной волны, можно записать в виде:

, (3)

где и являются функциями пространственных координат плоскости регистрации голограммы, - радиус-вектор, лежащий в плоскости голограммы. Комплексная амплитуда плоской опорной волны, достигающей регистрирующей среды, записывается как

(4)

где – волновой вектор, − радиус вектор произвольной точки пространства, А₀ – амплитуда, сохраняющая постоянное значение в пределах поперечного сечения пучка. Если начало координат поместить в плоскости голограммы, то в её плоскости поле опорной волны примет вид

(5)

Тогда амплитуда голографического поля в плоскости регистрации голограммы определяется суммой

(6)

При этом интенсивность голографического поля, как известно, будет описываться следующим образом:

, (7)

где звездочкой отмечены комплексно сопряженные величины. Раскрывая выражение (7) получим:

, (8)

где и – интенсивности объектной и опорной волн.

Далее положим, что используемая нами регистрирующая среда является линейным детектором интенсивности голографического поля. В случае использования для регистрации голограммы, например, галогенидосеребряной фотоэмульсии, это будет означать, что экспозиция и обработка фотоматериала выбраны таким образом, чтобы почернение фотоэмульсии, определяющее амплитудный коэффициент пропускания голограммы , было бы пропорционально интенсивности голографического поля, описываемой выражением (8), т.е.

Отметим, что осуществляемая при этом запись голограммы называется линейной. При этом из (8) мы можем получить выражение, описывающее с точностью до постоянного коэффициента T₀ комплексную амплитуду поля , формируемого в плоскости голограммы при дифракции на ее структуре восстанавливающего излучения

(9)

Подставим выражение (8) для интенсивности голографического поля в уравнение (9). Учтем выражения (3) и (5) для амплитуд объектной и опорной волн. После преобразований уравнению (9) можно придать следующую форму

(10)

Уравнения (9) и (10) впервые были получены Д. Габором (1948 г.) и носят название уравнений Габора.

Отметим, что каждое из слагаемых в (10) описывает комплексную амплитуду одной из волн, формируемых голограммой при дифракции на ее структуре восстанавливающего излучения. Первое слагаемое в (10) описывает комплексную амплитуду волны, распространяющейся в направлении распространения опорной волны, т.е. волны, отраженной от зеркала (см. рис. 1). Второе слагаемое (10) описывает волну, идущую в направлении распространения объектной волны, комплексная амплитуда которой пропорциональна амплитуде E. Эта волна формирует восстановленное с помощью голограммы мнимое изображение предмета. Третье слагаемое (10) описывает комплексную амплитуду волны, сходящейся в действительное изображение предмета (см. рис. 1б).

Волну, описываемую первым, вторым и третьим слагаемыми (10), обычно называют нулевым, -1 и +1 порядками дифракции, соответственно. Пространственное разделение этих порядков обычно обеспечивается соответствующим выбором углов падения опорной и объектной волн на плоскость регистрации голограммы.