Методы обнаружения и исправления ошибок.

Общие принципы использования избыточности для построения помехоустойчивых кодов.

1. Идея обнаружения ошибок. Она заключается в том, что в рамках данного алфавита А можно построить некоторое количество N_A кодовых комбинаций. Для обеспечения возможности обнаружения ошибок используют не все N_A комбинации, а только некоторые части N₀, которые называются разрешенными. Оставшаяся часть N=N_A-N₀ называется запрещенной. Ошибку можно обнаружить, если на приемной стороне возникает запретная комбинация вместо разрешенной. Всякий код, имеющий избыточность N>0, способен обнаруживать ошибки в N случаях из N_A.

- доля обнаруживаемых ошибок.

Код не является помехоустойчивым, если N/N_A=0.

Доля обнаруживаемых ошибок растет прямо пропорционально избыточности кода.

2. Идея исправления ошибок. Исправление ошибок корректирующими кодами основано на двух операциях:

• определение кодового расстояния между кодовыми комбинациями;

• определение максимального кодового расстояния.

Степень различия кодовых комбинаций может быть охарактеризована с помощью кодового расстояния Хэмминга d(k₁,k₂)=dist(k₁,k₂)=ωt(k₁+k₂).

Кодовое расстояние выражается числом символов, в котором одна комбинация отличается от другой, т.е. числом несоответствующих разрядов.

Для нахождения кодового расстояния между двумя комбинациями двоичного кода нужно подсчитать число единиц в сумме этих комбинаций при их сложении по модулю два.

k1= 10010101 → ωtk₁=4

+

k2= 11001000 → ωtk₂=3

01011101 → d_1,2=5

Кодовое расстояние можно также рассматривать как вес суммы этих комбинаций при их сложению по модулю два.

Весом кодовой комбинации называется число входящих в нее ненулевых элементов.

Идея исправления ошибок заключается в том, что после обнаружения ошибки определяют нулевые расстояния от принятой запрещенной комбинации до всех разрешенных, отождествляют принятую комбинацию с той из разрешенных, до которой расстояние минимальное, т.е. с той, на которую она больше всего похожа.

Такое декодирование называется декодированием по методу максимального прадоподобия.

Если минимальное кодовое расстояние между комбинациями равно единице (в рамках данного кода), то все кодовые комбинации будут являтся разрешенными. Если d₀=2, то (при n=3) … сл.: 000, 011, 101,110 – разрешенные. Если d₀=1:

запрещенные: 2,3,5,8

000,001,010,011,100,101,110,111

разрешенные: 1,4,6,7

Если d₀=2: r_max=1 – кратность обнаружения ошибок. r_max=d₀-1.

При исправлении ошибок по методу max правдоподобия неправильное декодирование может произойти, если кодовое расст-е между принятой и переданной комбинациями окажется > чем до к-л другой разрешенной. Это может произойти, когда сочетание ошибок изменит больше половины позиций, в кот. переданная комбинация отлич. от к-л разрешенной. Поэтому код с min кодовым расст-ем d₀ имеет кратность исправляемых ошибок S<d₀/2.

S_max= {d₀/2-1, d₀ – четн.; (d₀-1)/2, d₀- нечет.

В о.сл. выполняется след. связь пар-ров кода d₀ ≥ r+S+1 (r>S).

Геометрич. Интерпрет. Корректир. Кодов

Любая n-разрядная двоич. кодовая комбинация м.б. интерпретирована согласно Хеммингу как вершина n-мерного единичного куба с длиной ребра =1

The end