2. Связь оптимального управления с энергией, запасаемой в объекте.

- Энергия, выделяемая за время (0, τ)на сопротивлении.

– энергия, запасенная в катушке L.

S₃ – энергия, рассеиваемая на сопротивлении, равная запасенной катушки.

Чтоб система перенесла в новое установившееся состояние , она должна запасти строго определенное количество энергии .

Рассмотрим задачу скорейшего перевода этой системы в желаемое состояние . Пусть максимальное напряжение равно E_max. Для перевода в новое состояние применим форсированное управление.

Вычислим S₄ при форсированном управлении.

.→

При форсированном управлении объектом первого порядка количество запасаемой энергии строго соответствует необходимому для установившегося состояния. Такое управление справедливо для объекта первого порядка. Рассмотрим объект второго порядка: .

S₂ – необходимое количество энергии.

Применим к этому объекту форсированное управление.

Можно показать, что для объекта второго порядка S₄>S₂ и поэтому процесс в момент времени τ не прекращается. Чтоб обеспечить максимальное быстродействие для объекта 2го порядка применяется управляющее воздействие вида (излишек энергии тратится на интервале (t₁; t₂)).

3. Теорема об n-интервалах.

Для линейной системы n-го порядка, у которой все корни характеристического уравнения действительны, а на управление наложены ограничения по уровню , оптимальным, с точки зрения линейного функционала будет управление, принимающее граничные значения и имеющее не более n интервалов знакопостоянства.

1. ОУ – линейный.

2. Функционал – линейный.

3. Корни характеристического уравнения – действительны.

4. Управления ограничены по уровню.

4. Определение моментов переключения управляющих функций. Метод стыковки решения.

Суть метода рассмотрим на примере объекта 2го порядка:

. (1)

Этот объект необходимо перевести из начального состояния в конечное за минимальное время.

Корни характеристического уравнения действительные.

Общее решение уравнения (1): . Для определенности будем считать, что , значит . Найдем процессы , на первом интервале при оптимальном управлении:

Скорость изменения:

Аналогично для 2го интервала:

Для объекта 2го порядка функции y(t) и будут непрерывные. В момент времени τ должны выполнятся условия стыковки (4).

Имеется система с шестью неизвестными С₁₁, С₁₂, С₂₁, С₂₂, τ и T. Эти неизвестные определяются из системы шести нелинейных уравнений. Для их составления используются 4 граничных условия (2), (3) и условие стыковки (4).

Для объекта порядка n имеем, при оптимальном управлении, n интервалов, n(n+1) уравнений и столько же неизвестных.

5. Задача об управлении консервативным объектом.

Если функционал не линеен или корни характеристического уравнения не действительны, то теорему об n интервалах применять нельзя. Рассмотрим пример. Имеется модель ОУ:

Этот объект нужно перевести из начального состояния в конечное за минимальное время:

При ограничении на управлении: .

Решение. n=2, характеристическое уравнение . Применяем для решения задачи методику ПМП.

1. 

2. 

3. 

4. 

Следовательно, функция может менять знак более чем 2 раза. Поэтому оптимальное управление U* может содержать более 2х интервалов постоянства.