2. Поиск экстремальных значений

Смешанные вычислительные процессы, образованные внешним циклом с внутренним (вложенным) ветвлением или цепочкой ветвлений позволяют получить численное решение часто встречающихся в инженерной практике математических задач:

• поиск экстремальных значений некоторого ряда данных;

• ранжирование (сортировка) элементов численного ряда.

Технологии предмашинной подготовки задач поиска экстремальных значений представлены ниже.

Технология предмашинной подготовки задач ранжирования требует дополнительного использования вложенных циклов и рассматривается в главе 9.

Поиск экстремальных значений – типовой вычислительный процесс выбора наибольшего (наименьшего) из текущих значений функции (аргумента).

Графическая интерпретация наибольшего (наименьшего) некоторого ряда значений представлена на рис. 8.11.

Представленные графики иллюстрируют варианты некоторых простых числовых рядов с ярко выраженными одинарными экстремальными значениями. Однако в подавляющем большинстве для более сложных рядов, как правило, есть один глобальный экстремум (минимум или максимум) или их совокупность. Таким образом, для значительного количества числовых рядов задача поиска экстремальных значений актуальна. Простейшая классификация возможных вариантов экстремальных значений представлена на рис. 8.12.

Рис. 8.12. Классификация вариантов экстремумов

В математике разработано значительное количество сложных аналитических методов их поиска. Наличие ЭВМ позволяет использовать простой, но достаточно эффективный – вычисление наибольшего (наименьшего) значения методом последовательного сравнения (перебора). Методики поиска аналогичны рассмотренным при получении накоплений.

Рассмотрим методики определения наибольшего и наименьшего подробно.

1. Поиск наибольшего (глобального) значения

Анализ графической интерпретации функции с выраженным максимальным значением (рис. 8.11 а) показывает, что основа расчета – типовой циклический процесс.

Аналитический расчет (табличное задание) аргумента х_i позволяет получить последовательность текущих значений функции y_i.

Идея (методика) последовательного сравнения текущих значений функции y_i формулируется следующим образом:

• присвоить до входа в цикл искомому y_max наименьшее из возможных численных значений

y_max = –1х10²⁰;

• сравнить в теле цикла текущее (вначале первое) значение y_i с максимальным y_max

y_i > y_max;

• присвоить максимальному значению y_max текущее y_i, если условие выполнено

y_max = y_i;

• оставить y_max без изменения, если условие не выполнено;

• выполнять последние три пункта в каждом повторении цикла.

  • Внимание! Предлагаемая методика позволяет выполнять поиск максимального значения функции без учета условия существования экстремума (точки изменения возрастания функции на убывание или наоборот).

Словесная формулировка метода поиска максимального значения реализуется смешанным вычислительным процессом взаимодействия внешнего цикла с вложенной типовой схемой алгоритма неполного ветвления:

В результате по окончании циклического процесса переменной y_max будет присвоено наибольшее из всех значений y_i.

Рассмотрим методику вычисления максимального значения на конкретной задаче (8.7) о частотных характеристиках.