Решение

= 0,(020408163265306122448979591836734693877551). Если просуммировать геометрическую прогрессию 2/10² + 4/10⁴ +..., то получается в точности 1/49.

14. Пусть (n, 10) = 1, m < n, (m, n) = 1, и t — наименьшее число такое, что 10^t - 1 делится на n. Докажите, что t кратно длине периода дроби m/n. Будет ли это длина периода? Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Решение

Если 10^t 1(mod n), то остатки r₀ и r_t (см. задачу 5.41 ) совпадают, так как r₀ = m и r_t 10^tm(mod n). Значит период дроби m/n делит t. Наоборот, если T — длина периода, то r_T = r₀ (дробь чисто периодическая согласно задаче 5.41 ) и r₀10^T r₀(mod n). Так как r₀ = m и (m, n) = 1, то полученное сравнение можно сократить на r₀. Следовательно, 10^T 1(mod n).

15. Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите, что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа (m). Сложность: 4 Классы: 9,10,11

16. Эффект девяток. Периодом дроби 1/7 является число N = 142 857. Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода — число из одних девяток ( 142 + 857 = 999). Докажите в общем случае, что для простого q > 5 и натурального p < q период дроби p/q есть 2n-значное число N = такое, что N₁ + N₂ = . Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Решение

Пусть t = 2n — длина периода. Согласно задаче 5.43 , выполняется сравнение 10^t 1(mod q). Отсюда 10ⁿ - 1(mod q) и + = 1. Но в десятичной системе эти дроби имеют вид

= 0,,         = 0,,

поэтому N₁ + N₂ = .

17. Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби m/n не превосходит (n). Сложность: 4+ Классы: 10,11

18. Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите, что если (m₁, 10) = 1 и (m₂, 10) = 1, то справедливо равенство L(m₁m₂) = [L(m₁), L(m₂)]. Чему равна длина периода дроби 1/m₁ + 1/m₂? Сложность: 4+ Классы: 10,11

19. Пусть число m имеет вид m = 2^a5^bm₁, где (10, m₁) = 1. Положим k = max(a, b). Докажите, что период дроби 1/m начинается с (k + 1)-ой позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби 1/m₁. Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

20. Загадочное число. Число N = 142 857 обладает и рядом других свойств. Например: 2 ^. 142 857 = 285 714, 3 ^. 142 857 = 428 571..., то есть при умножении на 1, 2, 3,..., 6 цифры циклически переставляются; 14 + 28 + 57 = 99; N² = 20 408 122 449, 20 408 + 122 449 = 142 857 = N. Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты. Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Решение

При разложении 1/7 в десятичную дробь последовательность остатков устроена следующим образом:

r₀ = 1,    r₁ = 3,    r₂ = 2,    r₃ = 6,    r₄ = 4,    r₅ = 5,    r₆ = 1,...

Первое свойство объясняется равенствами

2 ^. = ,    3 ^. = ,    4 ^. = ,...

Объяснение второго свойства получается, если в равенстве + + = 1 перейти к десятичной записи. Чтобы объяснить последнее свойство, запишем N в виде N = (10⁶ - 1)/7. Отсюда N² = (10⁶ - 1)²/49. Число, которое получается сложением половинок числа N², будет периодом дроби

= N² = = .

Так как

= = 0,(142857),

то из половинок числа N² получится число N.

21. Найдите последние три цифры периодов дробей 1/107, 1/131, 1/151. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.) Сложность: 4+ Классы: 10,11

22. Число Фейнмана. Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите ее период:

= 0, 004 115 226 337 448...

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Ответ

= 0,(004 115 226 337 448 559 670 781 893).

23. Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа . Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру. Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

24. Автор: А. Карагулян

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... — возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что a_{n + 1} ≤ 10a_n при всех натуральных n. Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0, a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая. Сложность: 3+ Классы: 8,9,10