
- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
4.3. Операції над нечіткими множинами
Над нечіткими множинами можна виконувати ті ж операції що і над звичайними множинами, але для них існують і спеціальні, тільки їм властиві операції. розглянемо спочатку звичайні операції над нечіткими множинами і їх властивості.
Операції над нечіткими підмножинами, такі, наприклад, як обєднання та переріз, можна визначити різними способами. Нижче ми дамо декілька таких визначень. Вибір конкретного з них залежить від сенсу, який вкладається в операцію в рамках поданої задачі. Але, оскільки звичайні множини є підкласом нечітких множин, то природною вимогою при визначенні цих операцій є те, що вони повинні правильно виконуватись для чітких множин.
О з н а ч е н н я 4.6.
Об'єднанням нечітких підмножин
A
та B
називається нечітка підмножина
з функцією належності виду
(4.5)
Якщо
скінченне або нескінченне сімейство
нечітких підмножин з функціями належності
,
де
параметр сімейства, то обєднанням
множин цього сімейства є нечітка множина
з функцією належності, що має вигляд:
(4.6)
Графічна інтерпретація цього означення подана на рис. 4.3. Тут нечіткі підмножини A та B числової прямої описуються відповідними функціями належності, зображеними на рисунку. Товстою лінією зображено функцію належності обєднання цих множин за означенням 4.6.
Рис. 4.3. Об’єднання нечітких множин А та В, коли
П р и к л а д 4.9.
Нехай на універсальній множині
E = {x1, x2, x3, x4, x5},
подано нечіткі множини
та
.
Знайти їх об’єднання.
Розв’язування
Згідно означення 4.6. отримуємо, що
О з н а ч е н н я 4.6, а. Обєднання нечітких підмножин A та B можна визначати також через обмежену суму їх функцій належності :
(4.7)
або інакше це можна записати таким чином:
.
(4.8)
Результат
обєднання
за визначенням 4.6,а
нечітких підмножин A
та B
з функціями належності
та
відповідно , зображено на рис. 4.4.
Рис. 4.4 Об’єднання нечітких множин А та В за визначенням 4.6,а
П р и к л а д 4.10. Для підмножин з прикладу 4.9 визначимо їх обєднання за визначенням 4.16,а. Маємо
.
О з н а ч е н н я 4.6, б. Обєднання нечітких множин можна визначити також через їх алгебраїчну суму , тобто обєднанням нечітких множин A та B буде нечітка множина з функцією належності
(4.9)
Графічне
зображення функції належності обєднання.
нечітких підмножин A
та B
за визначенням 4.6, б.
з функціями належності
та
приведено на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Об’єднання нечітких множин А та В за означенням 4.6,б
П р и к л а д 4.11. Визначимо обєднання підмножин A та B з прикладу 4.9 за визначенням 4.6, б.
.
О з н а ч е н н я 4.7. Перерізом нечітких підмножин A та B універсальної множини E називається нечітка підмножина з функцією належності виду
.
(4.10)
Графічне зображення функції належності перерізу двох нечітких множин A та B за означенням 4.7 приведено на рис.4.6.
Рис. 4.6. Переріз нечітких множин A та B за означенням 4.7
П р и к л а д 4.12.
Для нечітких підмножин A
та B
універсальної множини E
з прикладу 4.9 визначимо їхній переріз:
.
Якщо
скінченне або нескінченне сімейство
нечітких підмножин з функціями належності
,
де
параметр сімейства, то перерізом
множин цього сімейства є нечітка множина
з функцією належності вигляду
(4.11)
О з н а ч е н н я 4.7, а. Інший спосіб визначення перерізу нечітких підмножин A та B обмежений добуток їх функцій належності
.
(4.12)
Графічно
цей переріз можна зобразити як показано
на рис. 4.7. Тут
та
– функції належності нечітких підмножин
A
та B
відповідно. Товстою лінією зображена
функція належності перерізу A
та B.
Рис. 4.7. Переріз нечітких множин за означенням 4.7, а
П р и к л а д 4.13.
Знайдемо переріз нечітких підмножин A
та B
за означенням 4.7, а
та 4.7, б. Якщо
,
,
E = {x1, x2, x3, x4, x5},
,
,
Тоді
.
Переріз двох нечітких множин A та B можна також визначити через алгебраїчний добуток їх функцій належності.
О з н а ч е н н я 4.7, б. Перерізом нечітких множин A та B назвемо нечітку множину з функцією належності, що дорівнює алгебраїчному добутку функцій належності даних множин
,
(4.13)
Для
нечітких множин A
та B
з функціями належності
та
,
що зображені на рис. 4.8, функція належності
перерізу зображена товстою лінією.
О з н а ч е н н я 4.8.
Доповненням
нечіткої множини
A
в E
називається нечітка множина
з функцією належності виду:
(4.14)
Рис. 4.8. Переріз нечітких множин А та В за означенням 4.7, б
Зауважимо,
що для нечітких множин властивість
,
що за всіх умов виконується для звичайних
множин, не завжди виконуватиметься.
Наприклад, для даного визначення
доповнення нечіткої множини,
,
якщо переріз визначено за правилом 4.7
або 4.7, б,
але при визначенні перерізу за правилом
4.7, а,
властивість
має місце.
П р и к л а д 4.18. Розглянемо нечітку підмножину A = {множина чисел, що значно більші за 0}, і нехай функція належності цієї підмножини має вигляд, що зображений на рис. 4.9 (суцільна крива). Тоді доповненням нечіткої множини буде нечітка множина чисел, які не є значно більшими нуля. Цій множині відповідає функція належності, яка зображена на рис. 4.9 пунктирною лінією.
Рис. 4.9. Доповнення нечіткої множини.
Непустий
переріз множин A
та
в цьому прикладі є нечітка множина
чисел, які “значно більші за нуль і не
є значно більшими за нуль” одночасно.
Непустота цієї нечіткої множини
відображає той факт, що саме поняття
“бути значно більшим” описано нечітко,
тому деякі числа можуть в якійсь мірі
належати одночасно до обох множин. В
певному сенсі цей переріз ми можемо
вважати «нечіткою межею» між множинами
A
та
.
О з н а ч е н н я 4.9. Різницею множин A та B в E назвемо нечітку множину A\B, що має таку функцію належності :
(4.15)
тобто
.
(4.16)