Параграф 10:предел функции

Опр. 1: Постоянное число называется пределом функции при , если для любого существует число , такое, что при выполнении неравенства следует выполнение неравенства .

или

Запишем неравенство (1) и (2) без модуля:

Двойное неравенство (3) определяет – окрестность точки на оси абсцисс.

Двойное неравенство (4) определяет – окрестность точки на оси ординат.

Определение предела функции означает, что по выделенной производной – окрестности точки на оси определяется – окрестность. Есть точка на оси такая, что как только переменная попадает в – окрестность своей предельной точки , так сейчас же переменная попадает в – окрестность своего предельного значения .

Замечание

В определении предела указывается, что т. к. в точке функция может быть не определена.

Все теоремы о пределах, сформулированные и доказанные для случая переменной , т. е. последовательности, переносятся без существенных изменений на случай предела функции.

Параграф 11: одностороние пределы слева и справа точки .

Сформулированное определение предела в предыдущем параграфе относится к так называемому двустороннему пределу, что означает, что переменная приближается к своему предельному значению с любой стороны, и слева, и справа. В некоторых случаях двусторонний предел может не существовать, но существуют односторонние пределы, когда переменная приближается к только с одной стороны, или слева, или справа. В этом случае указывается соотношение или .

Запись

– предел слева.

– предел справа

Второй вариант записи:

– предел слева.

ТЕОРЕМА:

Для того, чтобы в точке существовал двусторонний предел функции, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела и они были равны между собой:

Параграф 12: предел функции на бесконечности.

Опр. 1: Постоянное число называется пределом функции при , если для любого можно указать число , что при выполнении неравенства , следует выполнение неравенства: .

Заменим неравенства (1) и (2) без модуля:

Геометрическая интерпретация определения предела:

Неравенство (1) или (1а) определяет так называемую – окрестность бесконечности.

.

Если функция имеет предел на бесконечности равное , то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

Определение предела функции на бесконечности на языке окрестностей.

Постоянное число называется пределом функции при , если для любой – окрестности точки на оси существует – окрестность бесконечности на оси такая, что как только аргумент попадает в – окрестность бесконечности, так сейчас же функция попадает в – окрестность точки .

ПРИМЕР:

График имеет асимптоту горизонтальную .

Общее определение предела на бесконечность сохран., но дополняет указанный знак бесконечности. Все теоремы о пределах для всех модификаций определения предела сохраняются.

Параграф 13: замечательные пределы.

I.

Функция – четная, поэтому можно ограничится только положительными значениями и т. к. , то можно ограничится значениями в первой четверти, т. е. . Рассмотрим площади трех фигур:

.

.

– радианная мера угла.

Т. к. фигуры вложены друг в друга, то их площади связаны неравенством:

Из неравенства (2) вытекает, что при ,как меньшая величина, тоже стремиться к нулю. Из формулы (*) следует, что при .По теореме о сжатой переменной и по формуле (3) заключаем, что при .

.

ПРИМЕРЫ:

1.

2.

Формула (4) записана иначе:

II. Второй замечательный предел.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. Переменная называется возрастающей в узком смысле (строго возрастает), если при следует .

2. Переменная называется строго убывающей, если при следует .

3. Переменная называется возрастающей в широком смысле, иначе не убывающей, если при следует .

4. Переменная называется возрастающей в широком смысле, иначе не убывающей, если при следует .

5. Все перечисленные переменные называются монотонными переменными. Они могут быть строго монотонными и не строго монотонными.

ТЕОРЕМА:

1. Если переменная возрастает в узком или широком смысле и ограничена с верху (означает, что её значения ограничены с верху), то она имеет конечный предел.

2. Если переменная убывает в узком или широком смысле и ограничена снизу (её значения ограничены снизу), то она имеет конечный предел.

Можно доказать, что переменная строго возрастает и ограничена сверху числом 3. По теореме о существовании предела и ограниченной монотонной переменной можно утверждать, что рассматриваемая переменная имеет предел:

В дальнейшем будет выведена формула, позволяющая вычислить этот предел с любой степенью точности

Число лежит в основании так называемых натуральных логарифмов.

– модуль перехода.

С числом связано несколько функций, рассмотренных в математике.

Гиперболические функции:

1. – синус гиперболический.

2. – косинус гиперболический.

3. – тангенс гиперболический.

4. – котангенс гиперболический.

–1

Свойство этих функций:

– нечетные функции,

– четная функция.

– имеют горизонтальные асимптоты на «+» и на « – » бесконечности.

– имеет вертикальную асимптоту.