лекции / электронные лекции / 2.1.1.3.12
.rtfОсобенности построения логических схем в инвертирующих базисах.
Первой особенностью построения логических схем в инвертирующих базисах считается непрямая зависимость между простотой булева выражения и минимальностью соответствующей ему логической схемы. Другими словами, самое минимизированное булево выражение не всегда дает схему, минимальную по количеству инвертирующих логических элементов.
Для доказательства этого построим в инвертирующим базисе И–НЕ схему для реализации двухвходовой функции "исключающее ИЛИ", булево выражение которого в двухвходовом случае совпадает с булевым выражением для сумматора по модулю два, и имеет следующий вид:
F = A B + AB .
Следует заметить, что данные элементы очень широко применяются в цифровой схемотехнике, и вопрос минимизации их построения довольно актуален.
Условное графическое обозначение логического элемента, реализующего функцию "исключающее ИЛИ" в отечественных схемах:
В зарубежных схемах логический элемент "исключающее ИЛИ" обозначают следующим образом:
-
старое обозначение:
– новое американское обозначение:
– новое европейское обозначение:
Условное графическое обозначение логического элемента, реализующего двухвходовый сумматор по модулю два, который в логических схемах выполняет ту же функцию, что и исключающее ИЛИ, в отечественных схемах имеет вид:
Поскольку исходное булево выражение для двухвходовой функции "исключающее ИЛИ", кроме функций И и НЕ содержит и функцию ИЛИ, то, чтобы исключить ИЛИ, преобразуем его следующим образом:
F = A B + AB = A B + AB = A B AB .
Полученное выражение не является минимальным, а чтобы получить действительно минимальное выражение произведем над исходным выражением следующий ряд преобразований:
F = A B + AB = A B + AB + A А + ВB =
= A ( B + A ) +B ( А + В ) = (А + В ) ( А + В ) =
= А В А В .
В соответствии с последним минимальным выражением построим в инвертирующем базисе схему из логических элементов И–НЕ:
Теперь попробуем получить такое булево выражение, которое могло бы привести к более простой логической схеме. Для этого над минимальным выражением произведем следующий ряд преобразований:
F = А В А В = А В +А В =
= А В +АВ + АВ В + АА В =
= А В А В + А В В +АВ + А А В =
= А В ( А В +В ) +А ( А В +В ) = ( А В +В ) ( А В +А ) =
= А В В А В А .
В соответствии с последним булевым выражением построим в инвертирующем базисе схему из логических элементов И–НЕ:
Как видно данная схема оказывается в полтора раза проще, чем предыдущая, несмотря на то, что булево выражение, в соответствии с которым она построена, явно сложнее, чем полученное ранее минимальное выражение. Таким образом, можно считать доказанным утверждение о том, что самое минимизированное булево выражение не всегда дает минимальную по количеству инвертирующих логических элементов схему.
Вторая особенность построения логических схем в инвертирующих базисах приводится без доказательства:
Если в произвольной цифровой схеме (комбинационной):
– проинвертировать все входные и выходные сигналы;
– все элементы И заменить на ИЛИ, а ИЛИ, – на И,
то реализуемая схемой функция не изменится.