Тема 2 Приложения производной

2.1 Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя

Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е.

если то при

– возрастающая, – убывающая.

Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).

Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , а значение называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т.е. меньше (больше), чем максимум (минимум) (рисунок 1).

у max у

min

f(х₀) f(х₀)

О х₀– х₀ х₀+ х О х₀– х₀ х₀+ х

точка максимума

точка минимума

Рисунок 1

Из определений точек экстремума следует, что вне -окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т.е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.

Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.

Теорема Ферма. Если функция непрерывна в промежутке , в некоторой внутренней точке х₀ этого промежутка достигает максимума (или минимума) и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю: .

Предположим для определенности, что х₀ – точка максимума. Тогда для любой точки из интервала выполняется неравенство . Поэтому , если и , если . Переходя к пределам, получим

и .

Оба неравенства будут выполняться, если .

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная к графику функции в точке параллельна оси Ох, если х₀ – точка максимума или минимума функции на интервале (рисунок 2).

В точке максимума (минимума) х₀ производная может не существовать (рисунок 3)

у max у min f(х0) f(х0) О a х0 b х О a х0 b х Рисунок 2

у max min О a х0 b х Рисунок 3

Теорема Ролля. Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда существует точка , в которой . Так как функция непрерывна на отрезке , то она принимает в некоторых точках и минимальное и максимальное значения: . Если , то и в любой точке интервала производная . Поэтому можем считать, что . Положим , если , и , если . При таком определении с имеем . Поскольку , то , поэтому . Итак, с – это точка максимума или минимума функции и . По теореме Ферма .

Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике функции найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.

В частном случае, когда , теореме Ролля можно дать новое толкование: между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен по крайней мере один нуль ее производной.

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда существует такая точка , что

. (2)

Формула (2) называется формулой конечных приращений.

Введем вспомогательную функцию

.

Тогда

1) ;

2) непрерывна в тех же точках, в которых непрерывна функция , т.е. непрерывна на и дифференцируема в . По теореме Ролля существует точка , в которой . Так как , то в точке с выполняется равенство (2).

Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Пусть, кроме того, на . Тогда существует точка , такая, что

.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, когда .

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Раскрытием неопределенностей в математическом анализе называется отыскание предела , когда функция непрерывна вблизи точки , но не определена в самой этой точке, а непосредственная подстановка в формулу этой функции значения приводит к выражению неопределенного вида:

Основными видами неопределенностей являются следующие два: .

Для этих двух видов неопределенностей справедлива теорема Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

.

Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида или, как говорят, раскрыть неопределенность.

Замечание 1. Другие виды неопределенностей можно свести к основным видам.

Замечание 2. Правило Лопиталя можно применять повторно.

Пример Найти . Это неопределенность вида . Представим данный предел в виде ; это уже будет неопределенность вида , к которой применимо правило Лопиталя.

Поэтому .