4.9.3. Метод узловых потенциалов (муп)

Метод основан на применение первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. Определив по закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

0) Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме заменяют источниками тока (рис.4.31).

1) I=E/ Z_i2

2) Z_i1=Z_i2

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывается число ветвей I₁, I_в, в=N

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где - потенциал нулевого узла.

2.По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N-узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов.

Y_ii-собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-том узле, все они берутся со знаком «+».

Y_ij- межузловая проводимость между i-тым и j-тым узлами. Проводимости всех узлов берется со знаком «-».

I_ii- алгебраическая сумма токов источников тока сходящихся в i-го узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «-».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера.

.

4) Токи в ветвях находят по закону Ома

I=(₁-₂)/Z.

Пример. Дана электрическая цепь (рис.4.32). Рассчитать токи во всех ветвях.

0). Предварительно преобразуем все источники напряжения (см. рис.4.32) в источники тока (см. рис.4.33).

1). Проведем топологический анализ.

А). Число ветвей b=4; б). Число независимых узлов Nу=2, их потенциалы: φ₁ и φ₂ (см. рис. 4.33).

2). Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов.

,

; .

3). По методу Крамера найдем потенциалы узлов .

4) По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:

Контрольные вопросы

1. каковы основные свойства линейных цепей.

1.Выполнение принципа суперпозиции и трансформация спектра. 2. Выполнение принципа суперпозиции и отсутствие трансформация спектра. 3.Не выполнение принципа суперпозиции. 4. Не выполнение принципа суперпозиции и трансформация спектра.

2. Какие узлы называются независимыми.

1. которые отличаются числом элементом в ветвях. 2. которые отличаются одной ветвью. 3. которые отличаются числом ветвей.

3. Какие контура называются независимыми.

1. которые отличаются числом элементом в ветвях. 2. которые отличаются одной ветвью. 3. которые отличаются числом ветвей.

4. Число независимых ветвей определяется из соотношения.

1. N_У= в-1. 2. N_У= у-1. 3. N_У= в-у+1.

5. Число независимых контуров определяется из соотношения.

1. N_К= в-1. 2. N_К= у-1. 3. N_к= в-у+1.

6. Показать запись закона Ома в комплексной форме.

1. . 2.. 3. Ů_m=Zİ_m.

7. На каком законе основан метод контурных токов.

1. 1-ый закон Кирхгофа. 2. 2-ой закон Кирхгофа. 3.На законе коммутации для емкости. 4.На 1-ом и 2-ом законе Кирхгофа.

8. На каком законе основан метод узловых потенциалов.

1. 1-ый закон Кирхгофа.

2. 2-ой закон Кирхгофа.

3. На законе коммутации для емкости.

4. На 1-ом и 2-ом законе Кирхгофа.

9. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис.1.5.

   1.	2.	3.
   (Z1+Z2)I1+Z3 I2=u1 Z3I1+(Z2+Z3 +Z4)i2=0	(Z1+Z2+Z3)I1+Z3 I2=u1 Z3I1+(Z2+Z3 +Z4)I2=0	(Z1+Z2)i1-Z3 i2=u1 -Z3i1+(Z2+Z3 +Z4)i2=0

10. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис.1.5.

1. φ_А((Z1^-1+ Z2^-1+ (Z3+ Z4)^-1) = 0. 2. φ_А((Z1^-1+ Z2^-1+ (Z3+ Z4)^-1) = U1/(Z1)

3. (Z1+Z2)I₁+Z3 I₂=u₁ 4. φ_А((Z1^-1+ Z2^-1+ (Z3+ Z4)^-1) = E

11. Запишите второй закон Кирхгофа (для контура J₁ на рис.1).

1. I₁+I₂+I₃-I₄-I₅=0 2. I₂+I₃-I₄-I₅=0 3. I₁R₁+I₂R₂+I₃R₃=-I₄-I₅ 4. I₁+I₂+I₃-I₄-I₅=0 5. I₃R₂+I₄R₃ =E

12. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис.1.

1. φ_А(R₁^-1+ R₂^-1+ R₃^-1+ R₄^-1) = 0;

2. φ_А(R₁^-1+ R₂^-1+ R₃^-1+ R₄^-1) = Е₁(R₁^-1+ R₂^-1);

3. (R₂+R₃)J₁-R₂J₂-R₃J₃=E₁;

4. φ_А(R₁^-1+ R₂^-1+ R₃^-1+ R₄^-1)= Е₁

13. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис.1.

    1. (R2+R3)J1-R2J2-R3J3=E1 -R2J1+(R1+R2)J2=0 -R3J1+(R3+R4)J3=0	2. (R2+R3)J1-R2J2-R3J3=E1 -R2J1+(R1+R2)J2=0 -R3J1-R2J2 +(R3+R4)J3=0
    3. (R2+R3)J1-R2J2-R3J3=E1 (R2+R3)J1-R2J2+(R1+R2)J2=0 -R3J1+(R3+R4)J3=0	4. (R2+R3)J1-R2J2-R3J3=E1 -R2J1+(R1+R2)J2= E1 -R3J1+(R3+R4)J3=0

14. Для независимых узлов схемы на рис.1 записать уравнения по 1-ому закону Кирхгофа.

    I1 – I2 - I3= 0 I2+I3 - I4-I5= 0 I4+I5 – I1=0	I1 + I2 - I3= 0 I2+I3 - I4-I5= 0 I4+I5 – I1=0
    I1 – I2 - I3= 0 I2+I3 - I4 - I5= 0	I1 + I2 + I3= 0 I2+I3 - I4 - I5= 0

15. Подсчитать эквивалентное входное сопротивление цепи (рис.2).

1. 1кОм. 2. 5/3кОм. 3. 2кОм 4.3кОм.

44