10.2.8. Итерационные методы расчета

Решение нелинейного уравнения (системы нелинейных уравнений), описывающего (описывающих) состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами. Решение находится следующим образом: на основе первой, достаточно грубой, оценки определяется начальное значение корня (корней), после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности.

Наиболее широкое применение в электротехнике для численного расчета нелинейных резистивных цепей получили метод простой итерации и метод Ньютона-Рафсона, основные сведения о которых приведены в табл..

Итерационные методы расчета

Последователь-ность расчета	Геометрическая иллюстрация алгоритма	Условие сходимости итерации	Примечание
Метод простой итерации 1.Исходное нелинейное уравнение электрической цепи , где-искомая переменная, представляется в виде. 2. Производится расчет по алгоритму где - шаг итерации.	Здесь- заданная погрешность	На интервале между приближенным и точным значениями корня должно выполняться неравенство	1.Начальное приближение обычно находится из уравненияпри пренебрежении в нем нелинейными членами. 2. Метод распространим на систему нелинейных уравнений n-го порядка. Например, при решении системы 2-го порядка итерационные формулы имеют вид  ; . 3. При решении системы уравнений сходимость обычно проверяется в процессе итерации.
Метод Ньютона- -Рафсона 1. На основании исходного нелинейного уравнения электрической цепи , где-искомая переменная, записывается итерационная формулагде- шаг итерации. 2.По полученной формуле проводится итерационный расчет	Здесь- заданная погрешность	На интервале между приближенным и точным значениями корня должны выполняться неравенства	Примечания п. 1,2 и 3 к методу простой итерации распространимы на метод Ньютона-Рафсона. При этом при решении системы 2-го порядка итерационные формулы имеют вид где

 

Контрольные вопросы

1. Почему метод наложения  неприменим к нелинейным цепям?

2. Какие параметры характеризуют нелинейный резистор?

3. Почему статическое сопротивление всегда больше нуля, а дифференциальное и динамическое могут иметь любой знак?

4. Какие методы используют для анализа нелинейных резистивных цепей постоянного тока?

5. Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с последовательным соединением резисторов?

6. Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с параллельным соединением резисторов?

7. Какой алгоритм анализа цепи со смешанным соединением нелинейных резисторов?

8. В чем сущность метода двух узлов?

9. В цепи на рис. 2,а ВАХ нелинейных резисторов и, где напряжение – в вольтах, а ток – в амперах;. Графическим методом определить напряжения на резисторах.

Ответ: .

2. В цепи на рис. 4,а ВАХ нелинейных резисторов и, где ток – в амперах, а напряжение – в вольтах;. Графическим методом определить токии.

Ответ: .

2. В цепи на рис. 5 , где ток – в амперах, а напряжение – в вольтах; третий резистор линейный с. Определить токи в ветвях методом двух узлов, если.

Ответ: .

12. Как рассчитываются цепи с одним нелинейным резистором и произвольным числом линейных?

13. В чем преимущества и недостатки аналитических методов расчета по сравнению с графическими?

14. Какие аналитические методы используются для расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока?

15. В чем сущность метода линеаризации? Для решения каких двух типов задач он применяется?

16. Что такое эквивалентные схемы для приращений? Как они составляются?

17. Какова последовательность расчета нелинейных цепей итерационными методами?

18. В диагонали моста находится нелинейный резистор, ВАХ которого аппроксимирована выражением , где. Линейные сопротивления противоположных плеч моста попарно равны:;. Определить мощность, рассеиваемую нелинейным резистором, если схема питается от источника с ЭДС.

Ответ: Р=2 Вт.

12. Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного и нелинейного резисторов, если кривая ВАХ последнегопроходит через точки с координатами (15 В; 1,425 А) и (5 В; 0,325 А) и аппроксимирована выражением вида. ЭДС на входе цепи.

Ответ: .

12. В схеме предыдущей задачи ВАХ нелинейного резистора описывается выражением (ток – в амперах, напряжение – в вольтах) ;;. Определить напряжениена нелинейном резисторе и токв нем методом Ньютона-Рафсона.

Ответ: ;.

12. В цепи на рис. 1,б ,. ВАХ нелинейного резистора аппроксимирована двумя прямолинейными отрезками, первый из которых проходит через точки с координатами (0 В; 0 А) и (9 В; 2 А), а второй – через точки с координатами (9 В; 2 А) и (12 В; 6 А). Определить ток в цепи.

Ответ: .