6.4.1. Классический метод анализа

Он сводится к составлению и решению дифференциального уравнения, устанавливающего связь между откликом и воздействием. Порядок применения метода следующий.

1. составление дифференциального уравнения и приведение его к стандартному виду.

Уравнение составляется на основе законов Ома и Кирхгофа, а также с использованием метода контурных токов, узловых потенциалов и других. При составлении уравнения используют следующие соотношения:

При составлении уравнения за неизвестные принимают переменные состояния цепи, т.е. величины, которые отражают энергетическое состояние цепи. К ним относят u_c, и i_L. Составленные уравнения цепи после преобразований, приведения подобных членов и дифференцирования сводят к неоднородному линейному уравнению.

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ):

где: y(t) – отклик; х(t) – воздействие; a_i – постоянные, зависящие от R, L, C

n – порядок дифференциального уравнения. Порядок ДУ зависит от числа реактивных элементов и схемы их соединения. В простейшем случае число реактивных элементов равно n.

2. Запись общего решения ЛНДУ.

Оно состоит из суммы двух составляющих:

y(t) =y₁(t) + y₂(t).

y₁(t) – это общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, когда f=0. Это решение не зависит от воздействия (x) и называется свободной составляющей общего решения. Это решение известно и равно

,

где p_i – корни характеристического уравнения, A_i- постоянные интегрирования.

y₂(t) – это частное решение НЛДУ, оно зависит от x(t), а потому называется вынужденной составляющей общего решения.

3. Нахождение вынужденной составляющей y₂(t).

Она зависит от воздействия. Если входной сигнал имеет стационарный режим, то за частное решение принимают решение уравнения в установившемся (стационарном) режиме. При ступенчатом воздействии такой режим имеет место, когда t  . Это соответствует постоянной составляющей, т.е. гармоническому сигналу с нулевой частотой, , а потому y₂(t) находят из схемы замещения исходной цепи при =0.

4. Нахождение p_i.

Коэффициенты экспоненты находятся как корни характеристического уравнения, которое получают из дифференциального путем замены производных на:

.

5. Нахождение постоянных интегрирования A_i.

Постоянные интегрирования общего решения определяются из начальных условий (при t = 0) для искомой функции и ее производных.

; ;

Конкретные значения этих функции при t=0 находят из схем замещения исходной цепи при t =+0 с учетом законов коммутации для L, C элементов. Если входной сигнал ступенчатая функция, то мгновенному изменению входного сигнала при t = 0 соответствует гармонический сигнал с   , а потому искомые значения находят из схемы замещения исходной цепи при   .

6) Анализ корней характеристического уравнения и запись окончательного решения.

6.4.2. Спектральный метод анализа

Спектральный метод применяется в тех случаях, когда входной сигнал может быть представлен спектром. Сигнал имеет спектр, когда он обладает конечной энергией, т.е. удовлетворяет условию:

.

Этапы применения метода:

1) по известному сигналу находится его спектр

- прямое преобразование Фурье.

2) По известной схеме электрической цепи определяется частотная передаточная характеристика:

.

3) находится спектральная плотность выходного сигнала

.

4) по известному спектру выходного сигнала находится сам выходной сигнал

.