Отсюда следует, что

K_u(j)=Ů_2m/Ů_1m =Z₂Z₄/(Z₂Z₄+Z₂Z₃+Z₁Z₂+Z₁Z₃+Z₁Z₄).

Для построения ФЧХ необходимо пользоваться следующими формулами.

, где a - реальная часть, а b - мнимая.

Φ_Z =

I a > 0, b>0; φ = arctg

II a<0, b>0; φ = - arctg

III a<0, b<0; φ = + arctg

IV a>0, b<0; φ = - arctg

5.5. Резонансные цепи. Колебательные контуры

Явление резкого возрастания амплитуды отклика при приближение частоты внешнего воздействия к определенному значению частоты называется резонансом. Такой резонанс имеет место в механике и называется амплитудным резонансом. Частота, на которой выполняется условие резонанса, называется резонансной частотой

В электротехнике, величины характеризующие режим работы цепи на разных элементах имеют амплитудный резонанс на разных, хотя и близких частотах. Поэтому в теории цепей под резонансом понимаю фазовый резонанс. Под фазовом резонансом понимают условие, при котором цепь, содержащая реактивные (L и C) элементы, имеет входное сопротивление резистивное, т.е. при резонансе ток и напряжение находятся в одной фазе, как и на любом резистивном элементе, а сдвиг по фазе равен нулю.

Электрические цепи, в которых имеет место явления резонанса, называются резонансными. Поскольку переходные характеристики резонансных цепей имеют колебательный характер, то резонансные цепи называют колебательными контурами.

Колебательные контура используются для решения задач частотной избирательности. Под частотной избирательностью понимают способность цепи выделять сигналы узкого диапазона частот. К простейшим колебательным контурам относят последовательный и параллельный колебательный контур, также систему связанных контуров.

5.5.1. Последовательный колебательный контур

Последовательный колебательный контур состоит из последовательного соединения индуктивности L и емкости C (рис.5.17).

Для анализа процессов протекающих в контуре воспользуемся эквивалентной схемой замещения контура, в которой учтем резистивные сопротивления потерь реальных реактивных элементов. Схемы замещения реактивных элементов с учетом их резистивных сопротивлений приведены на рис.5.18. Здесь,R_L – резистивное сопротивление провода катушки индуктивности, R_ут – сопротивление утечки диэлектрика конденсатора, Rc – сопротивление утечки, пересчитанное в последовательную ветвь. Схема замещения последовательного контура приведена на рис. 5.19. В ней - резистивное сопротивление контура, учитывает резистивные сопротивления реактивных элементов.

Определим частотную характеристику входного сопротивления последовательного колебательного контура.

;

где R и – резистивная и реактивная составляющая сопротивления последовательного колебательного контура;

- обобщенная расстройка колебательного контура.

Характер входного сопротивления Z_вх(jω) зависит от частоты.

1. На низких частотах (НЧ) ;X < 0. Это означает, что сопротивление носит емкостной характер, его можно представлять эквивалентной схемой приведенной на рис.5.20.

2) На высоких частотах (ВЧ) ,Х > 0, сопротивление последовательного контура носит индуктивный характер (рис.5.20б).

3) На некоторой частоте ,, Х=0, сопротивление контура имеет резистивный характер, а его схема замещения состоять из резистораR.

Частота, на которой выполняется это условие, называется резонансной, она определятся как ω₀=(LC)^-1/2 .

Отметим свойства последовательного контура на резонансной частоте:

1) сопротивление имеет резистивный характер и минимально по сравнению с сопротивлением на других частотах.

2) Начальные фазы напряжения и тока на контуре одинаковы φ_u=φ_i, сдвиг по фазе равен φ=φ_u-φ_i=0.

3) Амплитуда тока в контуре максимальна и равна .

4) Сопротивления реактивных элементов L и C одинаковы и равны - характеристическому сопротивлению контура т. е..

5) Амплитуда напряжений на реактивных элементах контура одинаковы и в Q – добротность раз больше (амплитуды напряжения на входе).

, Q- добротность контура, .

Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

6) Амплитуды напряжений на реактивных элементах находятся в противофазах, а поэтому суммарное напряжение на реактивных элементах равно нулю: .

Построим графики АЧХ и ФЧХ входного сопротивления последовательного контура (рис. 5.21). Для построения учтем, что

5.5.1.1. Резонансная характеристика последовательного колебательного контура - это есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуде тока к комплексной амплилитуде тока при резонансной частоте, т.е. -.

Отсюда АЧХ:; и ФЧХ:.

–обобщенная расстройка

На остальных частотах резонансная характеристика убывает.

Важным параметром колебательного контура является его полоса пропускания (S). Это диапазон частот, в котором резонансная характеристика превышает уровень 1/√2 т.е. .S=ω_в - ω_н, где ω_в, ω_н верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания.

Параметры контура S, Q и ω₀ связаны соотношением . Отсюда следует, чем больше добротность, тем меньше полоса пропускания, тем лучше избирательные свойства колебательного контура.