Коэффициенты находят, как корни характеристического уравнения:

5. Найдем постоянные интегрирования А₁, А₂.

Их находят из начальных условий, т.е. при t=+0, для искомой функции и ее производных . Значения токов и напряжений в начальный момент времени после коммутации (при t=+0) определяют из схемы замещения исходной цепи (рис.6.22б), образованной после коммутации с учетом законов коммутации, по законам Кирхгофа. При нулевых начальных условиях наличие индуктивности равносильно разрыву цепи (i_L(-0) = i_L(+0)), а емкости - короткому замыканию (u_C(-0) = u_C(+0)).

Аналогичную схему замещения можно получить, если считать что ступенчатому сигналу в начальный момент времени (t=+0) соответствует гармонический с бесконечно большой частотой (ω∞).

Схема после коммутации (при t=+0, ω∞) приведена на рис.6.22б, а произвольные постоянные A₁ и А₂ находят из уравнений:

Из этой системы мы находим

5. Запишем общего решение относительно u_2(t):

Окончательное решение зависит от характера корней характеристического уравнения.

а) если , то решение равно сумме экспонент (рис.623а), оно не периодическое и его (режим переходного процесса) называют апериодическим.

б) если, то корни будут комплексными. В этом случае решение представляет собой гармоническую функцию времени убывающую по экспоненте (рис.6.23б). Такое решение (режим переходного процесса) называют колебательным.

в) если , то корни одинаковы. Такой режим называют критическим.

Отсюда условием критического режима

является соотношение Q=2.

6.7. Расчет переходных характеристик последовательного колебательного контура

Схема последовательного колебательного контура приведена на рис.6.24а.

Для расчета переходной характеристики установим связь между выходным u₂ и входным u₁ напряжениями, входной сигнал ступенчатым напряжением , тогда переходная характеристикаh(t) находится из выражения h(t) = u_2(t)/E, где u_2(t) – выходное напряжение.

Задачу будем решать классическим способом. За переменную в составляемом уравнении выбираем переменную, характеризующую энергетическое состояние цепи, которая наиболее просто связана с выходным сигналом. Такой переменной является напряжение на конденсаторе u_С(t) = u_2(t).

1. Составим дифференцирующее уравнение относительно переменной состояния цепи и приведем его к стандартному виду.

Данная цепь представляет контур, а потому используя, второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениям и токами на элементах схемы, запишем

, отсюда,;

Подставим полученные напряжения в первое выражение

Поделим на LC, и введем обозначения , получим

2. Запишем общее решение.

Оно зависит от выходного сигнала, если выходной сигнал ступенчатый, то отклик записывается так:

3. Найдем вынужденную составляющую общего решения - .

Для этого составим схему замещения исходной цепи при t ∞, (рис.6.24б), из которой и получим, чтоu_2(∞)=E.

4) Найдем показатели экспоненты - р₁ и p₂.

Коэффициенты находят, как корни характеристического уравнения:

.

5) Найдем постоянные интегрирования А₁, А₂.

Их находят из начальных условий, т.е. при t=+0, для искомой функции, ее производных и послекоммутационной схемы (при t=+0, ω∞), которая приведена на рис.6.24в. Составим систему

,

из решения которой и находим А1 и А2

.

6) Анализ корней и запись окончательного решения

а) если , то корни- отрицательные действительные числа. И окончательное решение записывается так.

Учитывая, что ;, а также, что при βt0, окончательно получим

.

Такое решение называется апериодическим

б) если , то корникомплексно сопряженные числа. Если проделать то же самое, и учесть что

,

то, при α << β, получим следующее

.

Здесь ω₀ = (LC)^-1– собственная частота колебательного контура; β=(ω₀–α)^1/2 - частота собственных колебаний в контуре при наличии резистивных потерь; α= R/(2L) – скорость затухания собственных колебаний в контуре, α =1/τ, где τ= 2L/R – постоянная времени контура.