10. Поля розкладу поліномів

 Нехай F – деяке поле, – його розширення. Говорять, що поліном повністю розкладається в полі , якщо його можна представити у вигляді , де , (тобто всі його корені лежать в ).

 Розширення поля F називається полем розкладу полінома , якщо повністю розкладається в і є найменшим полем, що містить F і всі корені, тобто, , .

ТЕОРЕМА 27. Всі поля розкладу полінома ізоморфні, причому ізоморфізм залишає на місці елементи поля F () і деяким чином переставляє корені .

Поле розкладу полінома будується шляхом послідовного приєднання коренів незвідних поліномів, що є його простими дільниками (див. теор.9). При цьому використовується процедура, описана в доведенні теор.24. З того ж доведення ясно, що елементи при цьому залишаються на місці, а теор.26 гарантує незалежність результату від порядку вибору коренів.

Контрольні запитання до §11

1. Дати визначення поля розкладу полінома .

2. Сформулювати теорему про канонічний розклад полінома.

3. Сформулювати теорему про існування і єдиність поля розкладу полінома.

Задачі до §11

1. Довести: поле разкладу полінома над скінченним полем існує; єдине (з точністю до ізоморфізму), скінченне.

2. Скільки елементів в найменшому розширенні поля , яке містить всі корені многочленів х²+х+1 та х³+х+1 ?

3. Чи буде поле С простим розширенням поля R?

4. Чи буде поле R простим розширенням поля Q?

5. Чи буде поле С алгебраїчним розширенням R? Чи буде С скінченим розширенням R? Яка степінь цього розширення?

6. Яке поле розкладу полінома ?

7. Яке поле розкладу полінома ?

8. Яке поле розкладу полінома ?

12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів

ТЕОРЕМА 28 (про існування та єдиність скінченних полів). Для будь-якого простого p і натурального n існує скінченне поле з елементів. Будь-яке поле з елементів ізоморфне полю розкладу полінома над полем .

 Надалі часто позначатимемо через q.

Нехай F – поле розкладу полінома . Розглянемо множину коренів цього полінома . Доведемо, що S – поле. Нехай x, , тоді за наслідком теор.17:

1. ;

2. .

Звідси легко випливає, що S – поле. Але оскільки F – мінімальне поле, що містить всі корені полінома , то S співпадає з F. Залишилося довести, що всі корені даного полінома різні (тобто поле містить рівно елементів). Розглянемо похідну даного полінома: . Оскільки , то над полем F_р не має коренів. Отже, за теор.13 всі корені прості і, таким чином, різні.

Доведемо єдиність. Нехай ‑ скінченне поле з елементами. Так як група ненульових елементів цього поля з операцією множення має порядок , то для будь-якого ненульового елемента виконується . Крім того, . Отже, всі елементи є коренями полінома , тобто будь-яке поле з елементів – це поле розкладу полінома з точністю до ізоморфізму. Єдиність поля з елементами випливає тепер з єдиності поля розкладу (теор.27).

 З теор.28 випливає, що над полем , тобто всі елементи поля і тільки вони є коренями полінома . Інакше кажучи, . Уважний читач напевне помітив, що остання рівність у випадку простого поля () є не що інше, як мала теорема Ферма, відома з теорії чисел.