9. Мінімальні поліноми

Нехай – алгебраїчний над F елемент розширення , причому . Нескладно показати, що множина є ідеалом кільця , причому , так як – алгебраїчний елемент. Оскільки – кільце головних ідеалів, то , де g – нормований поліном над F найменшого степеня серед ненульових поліномів, що належать J. Доведемо незвідність g. Оскільки , то ,таким чином, .Припустимо, що поліном g – звідний. Тоді ; або або . Так як , то це входить у протиріччя з мінімальністю степеня у .

 Поліном g, що породжує ідеал називається мінімальним поліномом елемента .

Вище був розглянутий випадок . Для мінімальним буде поліном .

Отже, кожний алгебраїчний елемент розширення має мінімальний поліном над F.

 Степінь мінімального полінома елемента  називається степенем цього елемента.

Вищенаведені міркування повністю доводять наступну теорему.

ТЕОРЕМА 22. Нехай – розширення поля F, елемент – алгебраїчний над F. Тоді  має мінімальний поліном , причому:

1. g – незвідний поліном;

2. ;

3. g є нормованим поліномом мінімального степеня, для якого є коренем.

ТЕОРЕМА 23. Нехай – розширення поля F, елемент – алгебраїчний над F, g – мінімальний поліном для , . Тоді:

1. ;

2. – лінійний векторний простір над F розмірності n, і – його базис;

3. будь-який елемент є алгебраїчним над F, причому степінь ділить n.

1) Розглянемо відображення , визначене як

.

Тоді . Очевидно, що – гомоморфізм. За теоремою про гомоморфізм кілець . , тобто . Залишилося довести, що . Оскільки незвідний, то - поле, отже і - поле. входить в S, оскільки . Але оскільки F і входять в S, а F() – мінімальне поле, що містить F і , то .

2) Доведемо, що . Маємо:,, але за умовою, тому, де завжди можна представити у вигляді . Залишилося показати, що – лінійно незалежна система:  , але , а - поліном найменшого степеня в . Отже, залишається лише одна можливість: , тобто .

3) Оскільки F(θ) – скінченне розширення (доведено в п.2), то воно алгебраїчне (див. теор.21). Отже, будь-який його елемент алгебраїчний над F (за означенням), тобто – алгебраїчний над F. За теор.20  .

 Надалі, якщо не обумовлене протилежне, розглядатимемо тільки скінченні поля.

10. Прості розширення полів та їх побудова

До цього ми будували розширення поля F, приєднуючи до нього елементи деякого ширшого поля . Спробуємо тепер побудувати розширення F, не маючи ширшого поля. Необхідний результат дає наступна теорема.

ТЕОРЕМА 24. Нехай F[x] – кільце поліномів над полем F, – незвідний поліном. Тоді фактор-кільце ізоморфне деякому простому розширенню поля F.

За теор.10 – поле. Його елементами є класи лишків , . Операції на класах лишків вводяться звичайним способом:

, .

Розглянемо множину класів лишків виду , . Класи і при не перетинаються. Таким чином, кожному елементу поля можна співставити елемент поля , і це відображення є ізоморфізмом. Отже, елементи вигляду можна ототожнити з елементами , і дійсно є розширенням

Покажемо, що g має корінь в одержаному розширенні і цим коренем є елемент [x]. Згідно з введеними операціями на класах лишків

(елементи можна розглядати як елементи розширення ).

Кожен елемент , може бути представлений у вигляді

, і містить всі елементи такого виду. Але поле, одержане шляхом приєднання елемента , якраз і повинно складатися з усіх елементів такого виду. Отже, співпадає з простим алгебраїчним розширенням з точністю до ізоморфізму.

Тепер стає очевидною

ТЕОРЕМА 25. Для будь-якого незвідного полінома існує з точністю до ізоморфізму розширення поля F, в якому f має хоча б один корінь.

 Теорема 24 є переформулюванням п.1 теор.23, але в ній не передбачається існування розширення і алгебраїчного над F елемента . Завдяки теор.24 можна розширювати скінченні поля, починаючи з простих, адже будова останніх нам відома – це не що інше, як кільця лишків за простим модулем Z_p з операціями за модулем . Отже, з них можна будувати більш складні (розширені) скінченні поля, будуючи фактор-кільця так, як описано у п.3.3. Щоправда, для цього потрібно мати незвідний над F поліном. Існування незвідних поліномів будь-якого степеня над заданим скінченним полем буде доведено нижче (див. наслідок 4 з теор.30).

Приклад.

Розглянемо поліном над полем F₅. В F₅ він не має коренів. За теор.24 у фактор-кільці F₅, яке через незвідність буде полем, поліном має корінь F₅. Виходячи з того, що степінь кожного полінома, що представляє елемент поля F₅, повинен бути меншим за степінь g(x) (представниками класів лишків є лишки від ділення на g), робимо висновок, що всі його елементи можна зобразити у вигляді .

Корінь можна позначати по-різному. Наприклад, враховуючи, що , можемо записати: . Введемо операції:

,

Таким чином одержуємо просте розширення F₅ ().

ТЕОРЕМА 26. Нехай F – поле, – незвідний поліном, , – його корені. Тоді прості розширення і ізоморфні.

Це очевидно випливає з теор.24 і транзитивності відношення ізоморфності:

F[x]/(f).

Контрольні питання до §9,10

1. Дати визначення мінімального поліному, незвідного полніому.

2. Сформулювати теорему про властивості мінімального поліному.

3. Яке розширення поля називається простим?

Задачі до §9,10

1. Нехай К – підполе поля F, ΘF. Довести: , де g – мінімальний поліном елементу Θ.

2. Чи є справедливим твердження:  є коренями одного й того ж незвідного поліному над К?

3. Довести, що - незвідний; побудувати таблиці операцій для простого розширення F₂(Θ), де Θ – корінь вказанного поліному.

4. Нехай К – поле. Довести: f,gK[x] мають спільний корінь (з деякого розширення К)  .

5. Довести: будь-яке поле характеристики р ізоморфне .

6. Довести: при поліном ділится на в .

7. Нехай F – скінченне поле. Довести: char F=ord e в адитивній групі цього поля.

8. Нехай . Чи є справедливим твердження: f – простий  (f) – простий?

9. Нехай F – поле, . Довести: pa=0  pb=0, де p – просте число. Чи є справедливим дане твердження для кільця?

10. Довести: незвідний поліном не має кратних коренів.

11. Нехай F – скінчене поле, К  F – підкільце. Довести: К – підполе.

12. Довести: якщо n – просте, то не має інших підполів, крім простого. Яке це підполе?

13. Нехай f, g K[x]. Довести: f, g мають спільний корінь  хоча б один з них звідний.

14. Довести: незвідний над F₂  t непарне.

15. Нехай . Який степінь мінімального поліному елемента  над ?