6. Підполя. Прості поля. Характеристики полів

 Говорять, що поле F є підполем поля і позначають цей факт, якщо носій поля F є підмножиною носія поля або співпадає з ним, і носій F замкнений відносно операцій, визначених у полі .

 Якщо , то підполе F називається власним.

 Поле називається простим, якщо воно не містить власних підполів.

ТЕОРЕМА 15. Будь-яке поле містить одне і тільки одне просте підполе.

Існування: розглянемо перетин всіх підполів даного поля. Воно непорожнє, оскільки кожне поле містить 0 і 1. Цей перетин – поле (суми, різниці, обернені елементи в ньому містяться, оскільки містяться у всіх підполях одночасно). Це підполе – просте, інакше у нього існувало б власне підполе і воно не було б перетином всіх підполів. Єдиність (від супротивного): нехай дане поле містить два прості підполя. Тоді їх перетин повинен включати як мінімум одиницю і нуль, тобто їх перетин містить поле, породжене цими елементами. Отже, вони не можуть бути простими. Таким чином, будь-яке поле може містити лише одне просте підполе.

ТЕОРЕМА 16. Будь-яке просте поле ізоморфне або полю лишків за простим модулем Z_р, або полю раціональних чисел Q.

Нехай – просте поле. Введемо відображення Z таке, що , (N): , . Доведемо, що – гомоморфізм (N):

;

.

Якщо – мономорфізм, то . В теорії кілець доводилось, що – ідеал кільця Z і фактор-кільце Z/Ker = Z/{0} за означенням складається з класів лишків, кожний з яких містить один елемент (бо якщо належать одному классу, то ), тобто Z/ Z. За теоремою про гомоморфізм кілець (ZZ. Кільце Zвкладається в поле , але оскільки в для будь-якого елемента існує обернений, то воно повинне містити підполе, ізоморфне полю часток. Внаслідок того, що – просте, воно ізоморфне полю часток кільця Z, а саме, полю раціональних чисел.

Якщо – не мономорфізм, то . Оскільки Z – кільце головних ідеалів, а Ker φ – ідеал, то, отже  Z/= Z_n. Так як Z – область цілісності, то Z_n= Z_р для деякого простого р (при складеному n Z_n містить дільники нуля), тобто  Z_р.

 Поле F має характеристику, що дорівнює p (), якщо F містить просте підполе, ізоморфне Z_р (, просте число) і характеристику, що дорівнює нулю (, якщо F містить просте підполе, ізоморфне Q.

З означення видно, що всі скінченні поля мають ненульову характеристику.

Можна дати інше, еквівалентне, визначення характеристики поля.

 Характеристикою поля F називається найменше натуральне число n таке, що : na ==0. Якщо ж таке не існує, то характеристика поля вважається рівною 0.

Таким чином, характеристика – це порядок одиниці в адитивній групі поля.

Доведемо одну важливу для теорії скінченних полів тотожність.

ТЕОРЕМА 17. У полі характеристики

.

У будь-якому полі має місце формула бінома Ньютона:

(1)

де . Оскільки – просте число, а < p, то ділиться на при всіх . Але в полі характеристики p для будь-якого елемента Отже, в правій частині (1) ненульовими можуть бути тільки крайні доданки.

Покладаючи в (1) одержуємо твердження для різниці елементів і . 

Наслідок теор.17. У полі характеристики

: для будь-якого натурального n.

Доведення за індукцією.

Контрольні питання до §5,6

1. Дати визначення підполя, власного підполя, характеристики поля.

2. Сформулювати теореми про просте поле.

3. Сформулювати теорему Безу.

5. Сформулювати теорему про кількість коренів поліному у полі.

Задачі до § 5,6

1. Довести: Z_р – просте поле; Q – просте поле.

2. Довести: К – просте підполе F  К – просте поле.

3. Чому дорівнюють характеристики полів: Z₅, Z₇ , Z₁₁ , Q, R, C ?

4. Довести: якщо F - поле, то char F дорівнює порядку одиниці в цьому полі відносно операції додавання.

5. Довести: якщо для деякого в полі F виконується , де е – одиниця поля, то .

6. Довести, що характеристика поля є простим числом.