4. Корені поліномів та їх властивості

Нехай – поле, – деякий поліном. Якщо , то елемент є значенням полінома в .

 Елемент такий, що, називається коренем полінома .

ТЕОРЕМА 11 (Безу). Елемент є коренем деякого полінома тоді і тільки тоді, коли .

Необхідність. Нехай . Тоді .

Достатність. Нехай – корінь . Внаслідок того, що – евклідове кільце, маємо: , причому . Але , тобто . Якщо , то . Але оскільки – корінь, то і .

 називається коренем полінома f(x) кратності , якщо ділиться на , але не ділиться на .

 Якщо кратність кореня дорівнює 1, то він називається простим.

ТЕОРЕМА 12. Поліном f(x) степеня n над полем F має не більше за n різних коренів у полі .

Нехай – корені полінома f(x) з кратностями відповідно. Тоді поліном f(x) можна представити у вигляді . Прирівняємо степені лівої і правої частин цієї рівності: , оскільки степені щонайменше дорівнюють 1. Таким чином, .

 Поліном називається похідною полінома .

ТЕОРЕМА 13. а є кратним коренем полінома f(x) тоді і тільки тоді, коли а є коренем f(x) і одночасно.

Доведення: якщо, то

.

У зворотньому напрямку теорему пропонується довести самостійно. 

Контрольні питання до §4

1. Дати визначення простого та кратного кореня поліному.

2. Сформулювати теорему Безу.

3. Сформулювати теорему про кількість коренів поліному у полі.

4. Довести теорему 13 у зворотньому напрямку.

Задачі до §4

1. Чи будуть незвідними поліноми:

а) ;

б)

в) ;

г);

д) ;

е) ?

2. Чи мають поліноми кратні корені:

a) ;

б) ;

в) ?

3. Нехай F – поле; f, g F[x]. Довести:

4. Нехай F – поле, f₁,…f_п F[x], f_i=dg_i, где d=(f₁,…f_п). Довести: (g₁,…g_п)=1.

5. Побудувати таблиці додавання та множення для факторкільця . Чи буде дане факторцільце полем? Чому?

6. Позначимо [x+1] – клас лишків у факторкільці , що містить елемент x+1. Знайти класи лишків в цьому факторкільці, які утворююють в ньому ідеал ([x+1]).

7. Нехай - поле. Довести:

К – підполе F 

7. Довести: - незвідний. Побудувати таблиці додавання та множення у факторкільці . Чи буде дане факторкільце полем?

5. Поля часток

ТЕОРЕМА 14. Довільну область цілісності R можна вкласти в поле.

(Під словом «вкласти» розуміється, що всі елементи області цілісності є елементами поля і операції, визначені в полі і в кільці R, співпадають на ).

Розглянемо множину формальних часток , (тобто множину пар ). Будемо казати, що знаходиться у відношенні з , якщо , (нагадаємо, що в області цілісності операція множення комутативна). Доведемо, що відношення є відношенням еквівалентності:

1. Рефлексивність очевидна: , так як .

2. Симетричність: також очевидна.

3. Транзитивність:

Таким чином, вся множина формальних дробів розбивається на класи еквівалентності (якщо як приклад розглянути числові дроби виду , Z то в один клас еквівалентності об'єднуються всі дроби, що скорочуються до одного й того ж).

Тепер на множині класів еквівалентності введемо операції ():

1. Додавання: .

2. Множення: .

Нулем є клас дробів виду , , а одиницею – клас дробів виду , . Зворотним до буде клас . Елемент визначається як . Нескладно перевірити, що введені операції комутативні, асоціативні і пов'язані законом дистрибутивності. Отже, побудована структура є полем, що і треба було довести.

 Поле, побудоване в доведенні теор. 14, називається полем часток.

Приклади.

1. Кільце цілих чисел вкладається в поле раціональних чисел.

2. Кільце поліномів над полем F вкладається в поле раціональних функцій .