3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)

Кільця поліномів над полями мають багато cпільних рис з кільцем цілих чисел. Наприклад, і – комутативні кільця з одиницею без дільників нуля , тобто області цілісності. Більше того, і , і – евклідові кільця. Незвідні поліноми у відіграють ту саму роль, що і прості числа у . Зокрема, має місце аналог наслідку з теор. 2:

ТЕОРЕМА 10. Фактор-кільце є полем тоді і тільки тоді, коли – незвідний поліном над .

По аналогії з кільцями лишків , фактор-кільце складається з класів лишків за . Представниками цих класів є всі поліноми з степеня меншого за , де . Якщо , то їх кількість дорівнює . Операції додавання і множення у фактор-кільці зручно задавати за допомогою таблиць, які називаються таблицями Келі.

Приклади.

1) Фактор-кільце складається з 4-х класів лишків Таблиці Келі в цьому випадку виглядають таким чином:

+	[0]	[1]	[x]	[x+1]
[0]	[0]	[1]	[x]	[x+1]
[1]	[1]	[0]	[x+1]	[x]
[x]	[x]	[x+1]	[0]	[1]
[x+1]	[x+1]	[x]	[1]	[0]

.	[0]	[1]	[x]	[x+1]
[0]	[0]	[0]	[0]	[0]
[1]	[0]	[1]	[x]	[x+1]
[x]	[0]	[x]	[x+1]	[1]
[x+1]	[0]	[x+1]	[1]	[x]

З цих таблиць видно, що – поле ( у кожному рядку таблиці множення, окрім першго, є 1, тобто кожен елемент, окрім 0, має обернений). Втім, те, що це фактор-кільце є полем, випливає також з теор.10, оскільки поліном незвідний над .

2) складається з 3² = 9 елементів – класів лишків [0], [1], . Випишемо таблиці Келі для додавання і множення в (оскільки обидві операції в комутативні, то достатньо виписати лише елементи, що стоять на головній діагоналі і над нею).

+

[0]

[1]

[2]

[x]

[x+1]

[x+2]

[2x]

[2x+1]

[2x+2]

[0]

[0]

[1]

[2]

[x]

[x+1]

[x+2]

[2x]

[2x+1]

[2x+2]

[1]

[2]

[0]

[x+1]

[x+2]

[x]

[2x+1]

[2x+2]

[2x]

[2]

[1]

[x+2]

[x]

[x+1]

[2x+2]

[2x]

[2x+1]

[x]

[2x]

[2x+1]

[2x+2]

[0]

[1]

[2]

[x+1]

[2x+2]

[2x]

[1]

[2]

[0]

[x+2]

[2x+1]

[2]

[0]

[1]

[2x]

[x]

[x+1]

[x+2]

[2x+1]

[x+2]

[x]

[2x+2]

[x+1]

.

[0]

[1]

[2]

[x]

[x+1]

[x+2]

[2x]

[2x+1]

[2x+2]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[1]

[1]

[2]

[x]

[x+1]

[x+2]

[2x]

[2x+1]

[2x+2]

[2]

[1]

[2x]

[2x+2]

[2x+1]

[x]

[x+2]

[x+1]

[x]

[1]

[x+1]

[2x+1]

[2]

[x+2]

[2x+2]

[x+1]

[2x+2]

[0]

[2x+2]

[0]

[x+1]

[x+2]

[x+2]

[x+2]

[2x+1]

[0]

[2x]

[1]

[2x+1]

[x+1]

[2x+1]

[x+2]

[0]

[2x+2]

[2x+2]

Фактор-кільце не є полем і навіть цілісним кільцем (з таблиці множення видно, що в ньому є дільники нуля), оскільки поліном звідний над .

Контрольні питання до §3

1. Дати визначення кільця поліномів. Як визначені операції у цьому кіьці?

2. Дати визначення незвідного поліному над полем.

3. Дати визначення НОД та НОК поліномів над полем.

Задачі до §3

1. Довести:

а) степінь суми поліномів не перевищує максимальної з степенів поліномів, що додаються;

б) степінь добутку поліномів не перевищує суми степенів співмножників;

в) в цілісному кільці степінь добутку поліномів дорівнює сумі степенів співмножників.

2. Довести:

а) R комутативне  R[X] комутативне;

б) R кільце з одиницею  R[X] кільце з одиницею;

в) R цілісне кільце  R[X] цілісне кільце.

3. Що таке оборотні елементи кільця F[X], де F – поле?

4. Знайти (f,g) над F₃ і представити його у вигляді лінійної комбінації вказаних поліномів: .

5. Для поліномів f₁,…,f_п довести:

а) deg(НОД (f₁,…,f_п))  deg(НОД (f₁,…,f_m)) при mn;

б) (f₁, f₂, f₃)= (f₁, (f₂, f₃).

6. Нехай R – евклідове кільце, що не містить оборотних елементів, крім±1. Чи можна стверджувати, що R[X] – також евклідове кільце?

7. Використовуючи тотожності

, довести: .

8. Довести критерій незвідності поліномів 2го та 3го степеню:

Нехай F – поле, 2 або 3. Тоді f(x) незвідний тоді і тільки тоді коли f(x) не має коренів в F.