2. Кільця лишків за модулем m

Важливим прикладом фактор-кілець є кільця лишків за модулем , які будемо позначати . Елементами кільця є класи лишків – у один клас лишків входять всі цілі числа, що дають при діленні на один і той самий залишок . Інакше кажучи, два цілих числа і належать одному класу лишків тоді і тільки тоді, коли ділиться на . Отже, є не що інше, як фактор-кільце кільця цілих чисел за ідеалом чисел, кратних : . Операції над елементами – це операції над цілими числами за модулем. У термінах класів лишків їх можна визначити наступним чином:

1. додавання: ;

2. множення: .

Одиниця кільця – [1], нуль – [0], протилежний до елемент –=.

Так як операціїї додавання та множення чисел комутативні, то – комутативне кільце з одиницею, але, взагалі кажучи, не є полем, бо у кільці лишків за модулем не кожен ненульовий елемент має обернений.

Приклад.

Розглянемо кільце , що складається з класів лишків [0],[1],[2],[3],[4],[5]:

– необоротний; – не існує;

; – не існує;

– не існує (тобто 2 – .

необоротний елемент);

Якщо достатньо велике, то перебором знайти обернений елемент до даного оборотного елемента складно. Існує універсальний спосіб, який викладається нижче.

Як зазначено у п.1, Z є евклідовим кільцем, тобто в Z можливе ділення з лишком. Тому, використовуючи алгоритм Евкліда, можна знайти найбільший спільний дільник чисел і (позначимо його як:

. (1)

ТЕОРЕМА 1. Якщо , то можна представити у вигляді лінійної комбінації і : (причому один з коефіцієнтів – від’ємний).

4Виражаючи з передостанньої рівності в (1) через , а , в свою чергу, через і так продовжуючи, дійдемо до першої рівності, виразивши таким чином лінійно через і .3

Приклад.

Знайдемо та представимо його у вигляді лінійної комбінації цих чисел:

; . Тут .

За допомогою розглянутого розкладу (див. теор.1) можна знайти обернений елемент . Нехай – множина оборотних елементів кільця . Відомо, що є абелевою групою за множенням. Якщо і , то внаслідок теор.1

,

звідки , тобто або в інших позначеннях .

 Надалі квадратні дужки в позначенні класів лишків випускатимемо, не забуваючи, проте, що, виконуючи операції за , ми маємо справу не просто з числами, а з класами лишків.

ТЕОРЕМА 2. Елемент кільця лишків оборотний тоді і тільки тоді, коли він взаємно простий з модулем.

Необхідність. Нехай існує обернений елемент . Від супротивного: припустимо, що . Тоді _. – суперечність, оскільки ділиться на , а 1 – ні.

Достатність. Нехай . Тоді внаслідок теор.1  .

Наслідок теореми 2. є полем тоді і тільки тоді, коли – просте число.

Приклад.

Розглянемо кільце :

; ;

; .

У кожного ненульового елемента комутативного кільця з одиницею є обернений за множенням, отже, ‑ поле.

Контрольні питання до §2

1. З яких елементів складається кільце лишків Z_п ? Як визначені операції в цьому кільці?

2. З яких елементів складається мультиплікативна група кільця Z_п ?

Задачі до §2

1. Вказати всі оборотні елементи у кільцях: Z₅, Z₆, Z₇ , Z₁₀ . Знайти мультиплікативні порядки всіх оборотних елементів.

2. Довести, що для будь-якого п Z_п ^* утворює абелеву групу відносно операції множення у кільці.

3. Знати НОД(а,b) та представити його у вигляді лінійної комбінації чисел а та b:

а) а=17, b=135;

b) а=113, b=217;

с) а=117, b=225.

4. Знайти а^-1mod b для чисел а та b з завдання 3.