23. Зведення основних положень та результатів

Будь-яке просте скіченне поле ізоморфне ‑ полю лишків за модулем при деякому простому (операції в ‑ це операції над цілими числами за ).
Кожне скінченне поле містить просте підполе (при деякому простому ), і тільки одне.
Кожне скінченне поле має елементів, де деяке просте, а ‑ натуральне числа і позначається або . ‑ кількість елементів поля ‑ називається його порядком, ‑ характеристикою поля, а степенем розширення над простим підполем .
є лінійним векторним простором над . Це означає, що елементи поля можна зобразити як вектори розмірності з компонентами з простого поля . Додавання цих елементів виконується покомпонентно – компоненти додаються за . Елементи можна також зобразити як поліноми степеня не вище за з коефіцієнтами з простого підполя. Множення в виконується як множення цих поліномів за , де незвідний над поліном степеня , причому поля, одержані за допомогою різних незвідних поліномів степеня , ізоморфні.
є підполем (інакше кажучи, є розширенням ) тоді і тільки тоді, коли ділить .
Нехай . Кожен елемент є алгебраїчним над , тобто є коренем деякого полінома з коефіцієнтами з . Серед усіх поліномів над , для яких є коренем, існує єдиний незвідний нормований поліном. Він називається мінімальним поліномом елемента .
Множина ненульових елементів з операцією множення, заданою в цьому полі, утворює мультиплікативну групу скінченного поля. Ця група циклічна.
Твірні елементи мультиплікативної групи називаються примітивними елементами поля . Їх кількість дорівнює . Використовуючи зображення елементів скінченного поля як степенів примітивного елемента (таблицю індексів), зручно обчислювати добуток елементів .
Всі елементи поля , і тільки вони, задовольняють рівності Нехай . Для того, щоб перевірити, чи належить полю елемент, досить перевірити для нього цю рівність. Інакше кажучи, всі елементи поля , і тільки вони, є коренями полінома , а поле ‑ поле розкладу цього полінома.
Над полем поліном розкладається у добуток всіх незвідних над нормованих поліномів, степні яких ділять .
Корені незвідного над полінома степеня лежать у полі . Якщо ‑ корінь , то всі його корені можна зобразити у вигляді: .
Незалежно від того, чи є коренем незвідного полінома, елементи називаються спряженими з відносно поля . Спряжені елементи (а отже і корені незвідного полінома) мають однаковий порядок у мультиплікативній групі поля .
Сума всіх спряжених з відносно елементів називається слідом над , а добуток – нормою. Слід є лінійним відображенням ; через слід виражаються всі лінійні відображення в .
, як лінійний векторний простір над , має базис розмірності . Базис, що складається з степенів , де ‑ корінь деякого незвідного над полінома степеня , називається поліноміальним. Якщо базис складається із спряжених над елементів, то він називається нормальним. Для будь-якого скінченного поля існує нормальний базис над будь-яким його підполем.
Порядком полінома () називається мінімальне натуральне число таке, що (таке завжди існує) і позначається . Якщо ‑ незвідний поліном степеня , то ; для звідного полінома це, взагалі кажучи, не так. Найбільший порядок, який може мати поліном степеня над , дорівнює .
Порядки довільних поліномів через порядки незвідних поліномів обчислюються наступним чином. Нехай – скінченне поле характеристики p, – канонічний розклад полінома , ,deg>0. Тоді
1. ,
2. де N.
Незвідний нормований поліном степеня , який має порядок , називається примітивним. Він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента поля ; більше того, всі корені примітивного полінома ‑ примітивні. Кількість примітивних поліномів степеня над дорінює .
Автоморфізм скінченного поля над підполем ‑ це автоморфізм , який залишає елементи на місці. Всі автоморфізми над вичерпуються відображеннями виду: