21. Базиси

Нехай , . Оскільки скінченне поле є лінійним векторним простором розмірності над своїм підполем, то вповинен існувати базис над . Нехай – такий базис, тобто, , і – система лінійно незалежних векторів над . Коефіцієнти a_i можна розглядати як функції від : . Неважко бачити, що c_i – лінійні функції, які за теор.44 можна виразити через слід :

, (1)

де кожен елемент однозначно задає свою функцію c_i.

ТЕОРЕМА 47. Система елементів, що визначається рівностями (1), утворює базис F над .

Нехай, – фіксоване.

(2)

внаслідок того, що . Доведемо, що – система лінійно незалежних елементів. Для цього треба показати, що :

,

але слід від нуля рівний нулю, тому , а оскільки j – довільне, то маємо необхідне: – лінійно незалежна система. 

 Базиси і такі, що виконується співвідношення (2), називаються дуальними. Існують базиси, дуальні самим собі – такі базиси називаються автодуальними.

 Нехай – поле, – алгебраїчний над елемент, . Базис виду називається поліноміальним (його існування забезпечує теор.23).

 Базис, що складається з елементів, спряжених з деяким певним чином підібраним елементом ,називається нормальним.

Система спряжених елементів не завжди утворює базис, а лише тоді, коли ці елементи лінійно незалежні (у цьому значенні елемент певним чином підібраний).

ТЕОРЕМА 48 (про нормальний базис). Для будь-якого скінченного поля та будь-якого його скінченного розширення F існує нормальний базис F над .

Теорема дається без доведення.

Приклад.

, . Нехай – корінь . Тоді, в якості базисів можуть розглядатися, наприклад, системи

{} або

{}.

Доведемо, що ,,, – автодуальний базис.

Для автодуальних базисів справедлива рівність:

необхідно перевірити її для нашого базису. Для цього обчислимо наступні вирази:

Розглянемо сліди:

,

Продовжуючи аналогічним чином, доводимо автодуальність даного базису.

Нескладно помітити, що цей базис є також і нормальним: .

Розкладемо в цьому базисі елемент . Нехай . Коефіцієнти розглядаємо як функції від :

.

Підрахуємо коефіцієнти:

;

( читач може підрахувати самостійно.) Отже,

.

22. Автоморфізми скінченних полів

 Автоморфізмом поля над підполем називається автоморфізм , що має властивість . Іншими словами, автоморфізм скінченного поля над підполем залишає елементи підполя на місці (див. рисунок).

Існує тісний зв’язок між спряженими елементами та автоморфізмами скінченного поля.

ТЕОРЕМА 49. Різними автоморфізмами поля над полем є автоморфізми виду, , і лише вони.

 Покажемо, що – автоморфізм над :

;

.

Оскільки (очевидно), то – бієкція. Якщо, то , тобто – автоморфізм над .

Навпаки: нехай – автоморфізм над . Будь-який ненульовий елемент зображується у вигляді , де  – примітивний елемент поля . Розглянемо мінімальний поліном елемента : .

. Таким чином, оскільки – автоморфізм, то

тобто – теж корінь незвідного полінома , а внаслідок теор. 33 всі корені незвідного полінома спряжені, отже, , . Повертаючись до елемента , маємо , що і вимагалося довести.

З доведеної теореми видно, що спряжені з даним елементом відносно елементи можна одержувати, діючи на різними автоморфізмами над .

Оскільки автоморфізми над утворюють групу відносно операції композиції відображень, то з теор.49 випливає, що ця група є циклічною з твірним елементом .

Контрольні питання до §20-22

1. Дати визначення сліду елемента, абсолютного сліду, характеристичного полінома елемента.

2. Сформулювати властивості сліду.

3. Сформулювати теорему про транзитивність сліду.

4. Дати визначення норми елемента. Сформулювати властивості норми.

5. Дати визначення базису в полі над підполем, дуального та авто дуального базисів, поліноміального та нормального базисів.

6. Дати визначення автоморфізму поля над підполем.

7. Сформулювати теорему про зв'язок спряжених елементів з автоморфізмами скінченного поля.

Задачі до §20-22

1. Нехай К – підполе F, поліном (над К). Довести: .

2. Нехай К – підполе F, ; лінійний оператор в F. Довести: характеристичний поліном лінійного оператора співпадає з характеристичним поліномом g(x) елемента , тобто g(x)=det(xI-).

3. В термінах задачі 2, довести: .

4. Використовуючи задачу 3, довести властивості лінійності сліду.

5. Нехай КF, charF=p. Довести:.

6. Нехай К = F_q F, ^q для деякого  F. Довести: для деякого  F виконується ^q   К.

7. Нехай К = F_q F. Довести:  F і для деякого  F^.

8. Довести, що .

9. Розглядаючи поле як векторний простір над , довести, що для кожного лінійного оператора L в цьому векторному просторі існує однозначно визначений набір , такий, що .

10. Довести: кількість відмінних базисів над дорівнює.

11. Довести: якщо - базис над , то хоча б для одного виконується: .

12. Довести: .

13. Довести існування такого нормального базису поля над , для якого .

14. а) Побудувати автодуальний нормальний базис над .

б) Довести: не існує автодуального нормального базису над .

15. Показати, що базис не може бути автодуальним. Зокрема, поліноміальний базис не може бути автодуальним.

16. Нехай - базис над ,

.

Довести: .

17. Довести: .