19. Примітивні поліноми

 Поліном , називається примітивним, якщо він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента над F_q.

ТЕОРЕМА 41. Поліном,, є примітивним над тоді і тільки тоді, коли f – нормований, і .

 Позначимо .

Якщо f примітивний, то він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента. Отже, f нормований, незвідний, , а його корені мають порядок . Таким чином, за теор. 36 і .

Навпаки: . Доведемо, що – незвідний. Від супротивного: нехай – звідний. Тоді або 1) , де – незвідний, натуральне, або 2) , де У випадку 1) має ділитися на (теор.38), але , а – протиріччя. У випадку 2) за теор. 39 – знову ж таки протиріччя з умовою. Таким чином, – незвідний і за насл. з теор.34 всі його корені – примітивні. Отже, – примітивний. 

Зауважимо, що умова потрібна лише, щоб виключити випадок .

Теорема 41 дає ще одне визначення примітивного полінома:

 Нормований незвідний поліном над , , називається примітивним, якщо .

ТЕОРЕМА 42. Кількість примітивних поліномів степеня над дорівнює , де - функція Ейлера.

Примітивні поліноми незвідні. Тому всі корені примітивних поліномів степеня лежать у (теор.33). За наслідком 1 теор.30 кількість примітивних елементів поля дорівнює . Оскільки кожен примітивний поліном степеня має рівно коренів і всі вони різні (теор.33) і примітивні (наслідки 1,2 теор.34), то кількість примітивних поліномів дорівнює . 

Контролні питання до §16-19

1. Дати визначення спряжених елементів.

2. Назвіть способи зображення елементів скінченого поля.

3. Дати визначення порядку полінома. Сформулювати теореми, що дозволяють визначити порядок поліномів над скінченним полем.

4. Дати визначення примітивного поліному, незвідного поліному.

Скільки існує примітивних поліномів степеня п над заданим скінченим полем?

Задачі до §16-19

1. Знайти кількість незвідних поліномів степеню від 1 до 6 над .

2. Знайти всі незвідні поліноми степеню 2 та 3 над .

3. Знайти всі примітивні поліноми степеню 3 над і степеню 2 над .

4. Які з наступних поліномів є незвідними? Примітивними?

   1. ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Довести: якщо l – просте, то кількість незвідних поліномів степені l над дорівнює

6. Довести: кількість примітивних поліномів степені п над дорівнює , де φ – функція Ойлера.

7. Подати всі елементи поля у вигляді степенів деякого примітивного елемента.

8. До трьох з елементів поля знайти обернені відносно множення та обернені відносно додавання.

9. Знайти порядок поліному над .

10. Нехай - прості корені поліному f. Довести:.

11. Нехай - незвідний. Довести: .

12. Довести: .

13. Знайти порядки всіх нормованих незвідних поліномів степені 3 над .

14. Нехай поліном f - з задачі 10. Знайти загальну формулу, що пов’язує порядки поліномів f та f ^в.

20. Сліди та норми

Нехай , ().

 Слідом елемента над полем називається сума всіх елементів, спряжених з відносно поля :

.

 Якщо – просте підполе (), то слід називається абсолютним і позначається:

.

Нехай – мінімальний поліном елемента (він завжди незвідний). Якщо deg f = n, то його коренями є α, α^q, …,(теор.33). Якщо deg f =, то d повинно ділити n (див. теор. 23, п. 3)). Розглянемо поліном , . Він буде нормованим і мати вид

.

Його коренями є , кожен кратності . Враховуючи кратність, їх теж можна позначити як . Всі корені лежать в, тому в полі він розкладається в добуток:

Звідки, прирівнюючи коефіцієнти, одержуємо , що дорівнює сліду елемента над полем . Так як , можна зробити висновок, що слід елемента лежить в , тобто маємо відображення (див. рисунок).

 Поліном називається характеристичним поліномом елемента .

ТЕОРЕМА 43 (властивості сліду). Нехай, . Тоді мають місце такі властивості:

1. Якщо, то .

.

2. Якщо, , то .

.

3. – сюр'єктивне лінійне відображення F на як лінійних векторних просторів.

Лінійність доведена в пп. 1), 2). Доведемо сюр'єктивність. Для цього достатньо показати, що , оскільки якщо пробігає всі елементи , то за властивістю 2) одержимо – теж пробігає всі елементи . Будь-який елемент такий, що , є коренем полінома . Але оскільки даний поліном має не більше, ніж коренів, а поле F містить елементів, то в ньому існують потрібні нам елементи: .

4. , де – степінь розширення F над .

 так як .

5. .



Слід не тільки сам є лінійним відображенням – через нього виражаються всі лінійні відображення з у .

ТЕОРЕМА 44. Будь-яке лінійне відображення з у є відображенням , виду . При цьому , якщо .

Кожне відображення за теор. 43 є лінійним відображенням на . При цьому, якщо , то

для відповідним чином вибраного елемента . Тому та відмінні. Так як у елементів, то одержуємо різних лінійних відображень із у . З іншого боку, взявши деякий базис векторного простору над , ми можемо отримати будь-яке лінійне відображення у , відображаючи базисні елементи у довільні елементи поля Це можна зробити різними способами; отже, всі лінійні відображення у вичерпуються відображеннями , .

ТЕОРЕМА 45 (про транзитивність сліду). Нехай – башта розширень. Тоді (див. рисунок).

Нехай , . Оскільки , , ,то



 Нормою елемента над полем називається добуток усіх елементів, спряжених з відносно поля :

.

Аналогічно сліду можна показати, що, де – вільний член характеристичного полінома елемента .

ТЕОРЕМА 46 (властивості норми).

1. .

2. – це відображення F на і F* на K*.

3. .

4. .

Читачу пропонується довести цю теорему в якості вправи.