
- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
18. Порядки поліномів
ТЕОРЕМА
35.
Для
будь-якого полінома
степеня m,
,
існує натуральне число
таке, що
.
Фактор-кільце
має
ненульових елементів (класів лишків за
модулем
).
Так як
– ненульові елементи цього фактор-кільця
і їх кількість
,
то серед них хоча б два співпадають:
.
Поліном
взаємно простий з
,
тому існує
і можемо домножити обидві частини
останньої рівності на
.
Отже,
Порядком
полінома
,
,
називається
найменше натуральне число
,
при якому
.
Порядок полінома позначається
:
.
Якщо,
то g,
очевидно, ділиться на x
в
деякому степені, тобто він може бути
представлений у вигляді
,
де
.
Тоді приймається, що
.
Порядок іноді називають періодом або експонентою полінома.
ТЕОРЕМА
36.
Нехай
– незвідний поліном,
,
.
Порядок полінома f
співпадає
з порядком будь-якого його кореня в
.
За
наслідком
2 теор.34
у незвідних поліномів всі корені мають
один і той самий порядок. Нехай
– корінь
,
r
–
порядок
.
Тоді
,
тобто
–
корінь полінома
.
Оскільки f
–
незвідний, тобто з точністю до нормування
співпадає з мінімальним поліномом
,
то
будь-який інший поліном, коренем якого
є
,
ділиться
на
(теор.
22, п.2),
тобто
.
Але r
–
найменший степінь з такою властивістю
(r
–
порядок
),
отже,
.
Наслідок
теореми 36.
Якщо
– незвідний поліном,
,
то
.
Порядок
коренів полінома
ділить порядок мультиплікативної групи
поля
.
-
Для звідних поліномів
може не ділити
. Приклад буде розглянутий далі.
ТЕОРЕМА
37.
Нехай
–
натуральне число. Поліном
ділить двочлен
тоді і тільки тоді, коли
ділить
.
Позначимо
.
.
,
а так як
,
то
.
Навпаки,
нехай
N,
.
Далі,
.
Так як
,
,
то
має ділити і
,
а так як
,
то це можливо лише при
.
Отже,
.
ТЕОРЕМА
38.
Якщо,
де g
–
незвідний поліном над скінченним полем
характеристики p,
,
N,
то
,
де
N
.
4Покладемо
.
Якщо
,
то й
(теор.37).
Так як
,
то
ділить
.
З теор.37
випливає, що
.
Враховуючи, що
,
маємо:
.
Згідно з наслідком теор.36,
не ділиться на
,
тому поліноми
і
не мають спільних коренів
має тільки прості корені. Тому всі корені
полінома
мають кратність
.
Так як поліном
ділить
,
то, порівнюючи кратності коренів, маємо
,
так що
.
Таким чином,
і
.3
ТЕОРЕМА
39.
Якщо
,
де
– попарно взаємно прості ненульові
поліноми,
,
то
.
4Нехай
,
,
НСК(
).
Тоді
З попарної взємної простоти
випливає, що
.
З теор.36
.
З іншого боку,
.
Знову звертаючись до теор.36,
бачимо, що
.
Отже,
.
3
З теор.38, 39 очевидно випливає наступне правило обчислення порядків поліномів.
ТЕОРЕМА
40.
Нехай
– скінченне поле характеристики p,
– канонічний розклад полінома
,
,deg
>0.
Тоді
,
де
N
.
Приклад.
Знайдемо
порядок полінома
.
Поліном
незвідний
над
,
отже його порядок збігається з порядком
його коренів. Нехай
- корінь
.
.
Таким чином,
.
Поліном
також незвідний над
.
Якщо
–
його корінь, то
,
отже
(обидва поліноми
і
виявилися примітивними).
Знайдемо
.
Зауважимо,
що 60 не є дільником 1023=210–1,
бо поліном
звідний.
Наведемо один з способів знаходження порядку незвідного полінома.
Нехай
незвідний поліном,
,
,
.
Позначимо
.
Нехай
- розклад числа
на прості множники. Так як за насл.
теор. 36
,
то
,
де
.
Будемо шукати
,
виходячи з того, що
–
найменше натуральне число таке, що
.
Для кожного
підрахуємо
.
Якщо
,
це означає, що
входить в
у максимальному степені, тобто
.
Якщо ж
,
то
і будемо обчислювати
,
,...
доти, доки не одержимо
.
Таким чином знаходимо
і
.