16. Спряжені елементи

 Нехай . Елементи називаються спряженими з відносно поля .

Спряжені з відносно елементи будуть різними тоді і тільки тоді, коли степінь мінімального полінома елемента дорівнює . Якщо ж степінь мінімального полінома дорівнює d (), то різних спряжених елементів буде рівно d: , а далі вони повторюватимуться:, …, і таких повторень буде m/d.

ТЕОРЕМА 34. Елементи, спряжені з відносно довільного підполя, мають однаковий порядок у мультиплікативній групі .

Достатньо довести, що однаковий порядок мають элемент  та ^q. Відомо, що в циклічній групі <a>(з твірним ) порядку порядок элемента а^d дорівнює . (Дійсно, нехай , , d=d₁s, причому Розглянемо послідовність ; вперше при kd кратному m, але в силу взаємної простоти і це вперше станеться при : . Таким чином, элемент ^d породжує циклічну підгрупу порядку =.) Нехай порядок элемента  в дорівнює . Тоді порядок циклічної підгрупи <α> також дорівнює m і за теор. Лагранжа . Элемент ^q породжує в <α> підгрупу порядку . Але так як (, то і (m,q) = 1; отже, порядок , а таким чином і порядок ^q , дорівнює m , що і треба було довести.

Наслідки теореми 34.

1. Елементи, спряжені з примітивним, також є примітивними.

2. Нехай, – незвідний поліном. Тоді всі його корені мають однаковий порядок у мультиплікативній групі .

Приклад.

Нехай - корінь полінома над . Елементи, спряжені з відносно , – це , а відносно – це та ; всі вони є примітивними.

17. Зображення елементів скінченних полів

Якщо скінченне поле розглядати як фактор-кільце , де -незвідний поліном степеня над , то елементи можна збразити у вигляді поліномів над степеня меншого за n:

, ,

або у вигляді векторів:

, .

Еквівалентний спосіб зображення елементів скіченного поля випливає з теор.23: якщо - корінь незвідного над полінома степеня , то утворюють базис у полі і будь-який елемент зображується як лінійна комбінація .

Ці три зображення елементів скіченного поля по суті є одним й тим самим.

Інше зображення елементів скіченного поля – це зображеня у вигляді степенів деякого примітивного елемента .

Приклад.

Розглянемо поле = , де – незвідний над . Нехай – корінь полінома . Тоді 1, - базис над : , . Спробуємо зобразити всі елементи поля у вигляді степенів примітивного елемента. Спочатку знайдемо примітивний елемент. Розглянемо елемент : так як – корінь , то , звідки , тобто – не примітивний елемент (відповідно, - не примітивний поліном).

Розглянемо тепер елемент . Будемо підносити його у степені і результату співставляти вектор коефіцієнтів з :

	(1, 0, 0, 0)
	(0, 1, 1, 1)
	(1, 0, 0, 1)
	(0, 1, 0, 0)
	(1, 1, 0, 0)
	(1, 0, 1, 1)
	(0, 0, 1, 0)
	(0, 1, 1, 0)
	(1, 0, 1, 0)

Тобто – примітивний елемент. Звичайно, для того, щоб перевірити примітивність елемента не потрібно було підносити його до всіх степенів. Оскільки всі степені будь-якого ненульового елемента утворюють підгрупу мультиплікативної групи поля, то за теоремою Лагранжа порядок елемента повинен бути дільником порядку всієї групи, тобто дільником 15. Таким чином, для того, щоб перевірити, чи є елемент примітивним елементом поля, достатньо перевірити рівності та . Якщо жодна з цих рівностей не виконується, то - примітивний.

Проте складена нами таблиця степенів дозволяє в явному вигляді представити елементи поля через степені примітивного елемента .

 Запис елементів скінченного поля у вигляді степенів примітивного елемента називається таблицею індексів. (Індекси – це показники відповідних степенів примітивного елемента).

Її зручно переписати в іншому вигляді:

Елемент	Індекс	Елемент	Індекс
	15	(1, 0, 0, 1)	8
(0, 0, 1, 0)	12	(1, 0, 1, 0)	14
	1	(1, 0, 1, 1)	11
(0, 1, 0, 0)	9	(1, 1, 0, 0)	10
	2		5
(0, 1, 1, 0)	13		4
(0, 1, 1, 1)	7		3
(1, 0, 0, 0)	6

За допомогою таблиці індексів зручно перемножати елементи скінченного поля. Наприклад, або

У загальному випадку множення у виконується за формулою:, де – примітивний елемент .