
- •1. Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець
- •2. Кільця лишків за модулем m
- •3. Кільця поліномів
- •3.1. Поліноми над кільцями
- •3.2. Поліноми над полями
- •3.3. Фактор-кільце f[X]/(f)
- •4. Корені поліномів та їх властивості
- •5. Поля часток
- •Підполя. Прості поля. Характеристики полів
- •Розширення полів
- •Алгебраїчні розширення
- •9. Мінімальні поліноми
- •Прості розширення полів та їх побудова
- •Поля розкладу поліномів
- •12. Теорема про існування та єдиність скінченних полів
- •13. Критерій підполя, діаграми включення підполів
- •14. Мультиплікативна група скінченного поля
- •Наслідки теореми 30.
- •15. Незвідні поліноми та їх корені
- •16. Спряжені елементи
- •17. Зображення елементів скінченних полів
- •18. Порядки поліномів
- •19. Примітивні поліноми
- •20. Сліди та норми
- •21. Базиси
- •22. Автоморфізми скінченних полів
- •23. Зведення основних положень та результатів
- •Предметний покажчик
- •Список використаної літератури
15. Незвідні поліноми та їх корені
ТЕОРЕМА
31.
Будь-який
незвідний над
поліном f,
ділить поліном
тоді і тільки тоді, коли
.
Необхідність.
Нехай
.
Тоді якщо
–
корінь
,
то
буде
і коренем полінома
:
(теор.28).
Оскільки f
–
незвідний,
,
–
його корінь, то за теор.24
можемо
побудувати розширення
і
за теор.20
.
Достатність.
Нехай
.
Тоді за теор.
29
.
Якщо
–
корінь
в полі розкладу полінома
над
,
то
–
корінь полінома
.
незвідний
будь-який поліном, для якого
є
коренем, ділиться на
.
Наслідок
теореми 31.
Поліном
розкладається над полем
у добуток усіх незвідних над
нормованих поліномів, степені яких
ділять
.
Приклад.
Над
полем
(нагадаємо,
що у полі характеристики 2 справедлива
рівність 1 = -1). Всі поліноми у правій
частині незвідні і їх степені ділять
4. Більше того, це всі незвідні поліноми
степенів 1,2 і 4 над
.
Корнені поліномів першого степня
та
складають поле
;
корені
- елементи
,
що не входять до
;
корені поліномів
,
та
1
належать
\
.
Виникає
питання: а скільки взагалі існує незвідних
поліномів степеня
над
?
Відповідь дає наступне твердження, яке
ми подаємо без доведення.
ТЕОРЕМА
32.
Кількість нормованих незвідних
мнонгочленів степеня
над
дорівнює
де
підсумовування ведеться за всіма
додатними дільниками числа
,
функція Мебіуса:
Приклад
Кількість
нормованих незвідних поліномів степеня
6 над
дорівнює
ТЕОРЕМА
33.
Якщо
– незвідний поліном степеня m,
то
містить всі його корені і ними є m
різних
елементів ,
,
,
…,
поля
.
Нехай
– довільний корінь
у полі розкладу
над
.
Так як
– незвідний, то він з точністю до
нормування співпадає з мінімальним
поліномом
.
Тому
і
.
Доведемо,
що якщо
–
корінь f,
то
– теж корінь. Нехай
,
тоді
.
(=
,
оскільки
).
Тепер
покажемо, що всі корені різні. Від
супротивного: нехай
.
Не зменшуючи загальності, припустимо,
що
Піднесемо обидві частини рівності до
степеня
:
,
але
,
отже,
є
коренем полінома
.
Таким чином,
,
а внаслідок теор.
31 це
можливо тоді і тільки тоді, коли
– суперечність, тому всі корені різні.
Контрольні питання до §12-15
-
Сформулювати теорему про існування та єдність скінченних полів.
-
Сформулювати критерій підполя.
-
Дати визначення мультиплікативної групи поля, примітивних елементів поля.
-
Дати визначення функції Мебіуса. Як за допомогою цієї функції визначити кількість нормованих незвідних мнонгочленів степеня
над
?
Задачі до §12-15
1. Побудувати поле, що складається з п елементів, де
а) п=3; б) п=8; в) п=9; г) п=11.
2. Чи існують поля, що складаються з 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 елементів?
3. Знайти всі підполя полів:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
4.
Визначити кількість незвідних нормованих
поліномів степені п
над
:
а) степені
5 над
;
б) степені
8 над
;
в) степені
18 над
;
г) степені
22 над
;
д) степені
15 над
;
е) степені
14 над
;
ж) степені
21 над
.