15. Незвідні поліноми та їх корені

ТЕОРЕМА 31. Будь-який незвідний над поліном f, ділить поліном тоді і тільки тоді, коли .

Необхідність. Нехай . Тоді якщо – корінь , то буде і коренем полінома : (теор.28). Оскільки f – незвідний, ,  – його корінь, то за теор.24 можемо побудувати розширення і за теор.20 .

Достатність. Нехай . Тоді за теор. 29 . Якщо – корінь в полі розкладу полінома над, то    – корінь полінома . незвідний будь-який поліном, для якого є коренем, ділиться на  .

Наслідок теореми 31. Поліном розкладається над полем у добуток усіх незвідних над нормованих поліномів, степені яких ділять .

Приклад.

Над полем

(нагадаємо, що у полі характеристики 2 справедлива рівність 1 = -1). Всі поліноми у правій частині незвідні і їх степені ділять 4. Більше того, це всі незвідні поліноми степенів 1,2 і 4 над . Корнені поліномів першого степня та складають поле ; корені - елементи , що не входять до ; корені поліномів , та 1 належать \.

Виникає питання: а скільки взагалі існує незвідних поліномів степеня над? Відповідь дає наступне твердження, яке ми подаємо без доведення.

ТЕОРЕМА 32. Кількість нормованих незвідних мнонгочленів степеня над дорівнює

де підсумовування ведеться за всіма додатними дільниками числа , функція Мебіуса:

Приклад

Кількість нормованих незвідних поліномів степеня 6 над дорівнює

ТЕОРЕМА 33. Якщо – незвідний поліном степеня m, то містить всі його корені і ними є m різних елементів , , , …, поля .

Нехай – довільний корінь у полі розкладу над . Так як – незвідний, то він з точністю до нормування співпадає з мінімальним поліномом . Тому і .

Доведемо, що якщо – корінь f, то – теж корінь. Нехай , тоді

.

(=, оскільки ).

Тепер покажемо, що всі корені різні. Від супротивного: нехай . Не зменшуючи загальності, припустимо, що Піднесемо обидві частини рівності до степеня :, але , отже, є коренем полінома . Таким чином, , а внаслідок теор. 31 це можливо тоді і тільки тоді, коли – суперечність, тому всі корені різні.

Контрольні питання до §12-15

1. Сформулювати теорему про існування та єдність скінченних полів.

2. Сформулювати критерій підполя.

3. Дати визначення мультиплікативної групи поля, примітивних елементів поля.

4. Дати визначення функції Мебіуса. Як за допомогою цієї функції визначити кількість нормованих незвідних мнонгочленів степеня над ?

Задачі до §12-15

1. Побудувати поле, що складається з п елементів, де

а) п=3; б) п=8; в) п=9; г) п=11.

2. Чи існують поля, що складаються з 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 елементів?

3. Знайти всі підполя полів:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

4. Визначити кількість незвідних нормованих поліномів степені п над :

а) степені 5 над ; б) степені 8 над ; в) степені 18 над ; г) степені 22 над ; д) степені 15 над ; е) степені 14 над ; ж) степені 21 над .