13. Критерій підполя, діаграми включення підполів

ТЕОРЕМА 29 (критерій підполя). Кожне підполе скінченного поля складається з елементів, де , і напаки: для кожного цілого , що ділить , існує підполе скінченного поля , яке складається з елементів.

   .

Навпаки, нехай , тобто n=km для деякого натурального . Очевидно, що над будь-яким полем , тому pⁿ-1= p^km-1 = (p^m-1)( p^{m(k -1)}+…+ р^m+1) і, отже, p^m-1 pⁿ-1, тобто pⁿ-1= s(p^m-1). З цього факту аналогічно попередньому маємо

.

Поле ізоморфне полю розкладу полінома . Полем розкладу полінома є , але будь-який його корінь є одночасно і коренем полінома , тому .

Для будь-якого скінченного поля можна побудувати діаграму, в якій вказані всі його підполя та ієрархія їх включення одного в одне.

Приклад.

Побудуємо діаграму включення підполів поля .

Для кожного дільника числа 30 за теор.29 існує підполе порядку , і інших підполів не існує. Розглядаючи всі дільники 30, розташовуємо підполя в діаграмі так, щоб кожне поле було підполем всіх полів, розташованих вище за нього і пов'язаних з ним яким-небудь шляхом з рисок:

14. Мультиплікативна група скінченного поля

 Множина ненульових елементів скінченного поля з операцією множення, заданою в полі, називається мультиплікативною групою поля і позначається .

З означення поля випливає, що ця група абелева.

ТЕОРЕМА 30. Мультиплікативна група скінченного поля циклічна.

 Розглянемо скінченне поле . Нехай – розклад числа на прості множники. Поліном в має не більше, ніж коренів (теор.12). Так як , то у існує элемент, що не є коренем полінома . Позначимо його через a_i: . Розглянемо элемент : порядок элемента b_i ділить . Покажемо, що ord(b_i) = , . З попереднього випливає, що ord(b_i) = . Але . Доведемо, що элемент є твірним для циклічної групи , тобто має порядок Нехай це не так. Тоді ord(b) ord(b) ділить принаймні одне из чисел , наприклад, . Тоді 1 = . При , тобто ord(b₁), але це неможливо, так як ord(b₁) = .

Отже, b – твірний елемент циклічної групи .

 Твірні елементи мультиплікативної групи поля називаються примітивними елементами поля.

Приклад.

F₅^*- мультиплікативна група поля F₅. Її твірними елементами (примітивними елементами F₅) є 2 і 3 (перевірити самостійно!).

Наслідки теореми 30.

 Див. доведення теор.30.

1. Скінченне поле містить примітивних елементів (φ – функція Ейлера).

Якщо – примітивний елемент , то примітивними будуть також всі степені , де (, і тільки вони. 

2. – примітивний елемент тоді і тільки тоді, коли для всіх , де – прості дільники числа .

3. Якщо F_r – скінченне розширення поля , то F_r є простим алгебраїчним розширенням і твірним елементом цього розширення може служити будь-який примітивний элемент F_r.

Нехай – примітивний елемент F_r. Оскільки , то , з іншого боку F_r складається з усіх степенів , тобто . Таким чином, .

4. Для будь-якого скінченного поля і будь-якого натурального n існує незвідний над поліном степеня n .

Нехай F_r – розширення поля , . За наслідком 3) , де – примітивний елемент F_r. Елемент алгебраїчний над (теор.21), і його мінімальний поліном g і є тим самим незвідним над поліномом, причому .